Ch35（2/3）：能带结构与子带模型

闪锌矿晶体的电子能带结构

为了考虑闪锌矿晶体中三个价带（重空穴（HH）、轻空穴（LH）和晶体场分裂空穴（CH））之间的强耦合，Sentaurus Device 中的局域化量子阱模型支持在 点使用有效质量的抛物线带近似。它从三带 方法推导，并考虑沿六角格子 c 轴生长方向的应变效应。基于闪锌矿晶体的一般能带结构参数和由晶格常数失配定义的给定应变，计算沿生长方向平行和垂直方向的带偏移和有效质量。

从对角应变张量开始定义：

其中 对应衬底的晶格常数， 是无应变层的晶格常数。价带边缘的能量可以写成 [2]：

其中 和 表示它们对剪切形变势 到 的依赖性：

应变相关的导带边缘为：

其中能量位移 由沿生长方向平行（）和垂直（）的流体静形变势引起：

在能带边缘的表达式中（公式 1210–公式 1212 和公式 1215）， 用作参考能量，代表不存在自旋轨道相互作用时 CH 能带边缘能量。表 186 和表 187 总结本节使用的所有与能带结构相关和与应变相关的参数，以及它们在 Sentaurus Device 参数文件中的规格。

表 186 参数文件中 BandstructureParameters 部分定义的参数

符号	参数名称	单位	描述
A1	A1	–	空穴有效质量参数
A2	A2	–	空穴有效质量参数
A3	A3	–	空穴有效质量参数
A4	A4	–	空穴有效质量参数
	so	eV	自旋轨道分裂能量
	cr	eV	晶体场分裂能量
	–	eV	定义为
	–	eV	定义为
	–	eV	定义为

表 187 参数文件中 QWStrain 部分定义的参数

符号	参数名称	单位	描述
	a0	m	T = 300 K 时的晶格常数
	alpha	m/K	描述晶格常数线性温度依赖性的模型参数：
	Tpar	K
	C_33	eV	弹性常数
	C_13	eV	弹性常数
	a_c	eV	沿晶体生长方向（此处假设 和 相等）的流体静形变势
	a_c	eV	垂直于晶体生长方向（此处假设 和 相等）的流体静形变势
D1	D1	eV	剪切形变势
D2	D2	eV	剪切形变势
D3	D3	eV	剪切形变势
D4	D4	eV	剪切形变势

基于描述三个价带强耦合所需的三带 哈密顿矩阵，可以推导出色散关系 的解析解 [2][3][4]。在 点对 进行级数展开至 的二阶，可以得到与局域化量子阱模型一起使用的有效质量：

其中 到 被称为空穴有效质量参数，必须由用户在表 186 中指定。

要激活闪锌矿晶体能带结构处理的简化模型，必须在命令文件的 Physics 部分中指明晶体类型。如果要考虑应变，则必须将衬底晶格常数指定为计算每层应变张量的参考，如下所示：

Physics {
    LED (
        Bandstructure ( CrystalType = Wurtzite )
        Strain ( RefLatticeConst = 3.183e-10 )  #[m]
    )
}

除了使用公式 1210–公式 1212、公式 1215 和公式 1217–公式 1222 中的公式计算能带边缘能量和有效质量外，您还可以显式定义这些量。每个价带可以用阶梯规格来表征，如第 379 页的显式指定阶梯中所述。对于表现出闪锌矿晶体结构的材料，显式阶梯规格的语法扩展为可分类特定空穴类型（HH、LH 或 CH）。这对于在可视化过程中标记相应的结果（如子带能量或重叠积分）是必要的。

例如，要显式定义考虑任意应变时各种价带的属性，即应变量未向工具声明，SchroedingerParameters 部分中的阶梯规格如下：

SchroedingerParameters {
    Formula = 0,4
    hLadder(0.4376, 1.349, 1, 0.002, HeavyHole)
    hLadder(0.4373, 0.4375, 1, 0.003, LightHole)
    hLadder(0.4376, 0.4378, 1, 0.004, CrystalFieldSplitHole)
}

hLadder 的第一个和第二个条目分别对应平行（）和垂直（）有效质量的值。第三个条目表示阶梯简并度，对于 GaN 基半导体设置为 1，第四个条目用于指定相对于无应变价带边缘的带偏移（单位：eV）。要激活显式阶梯规格，空穴的 Formula 值必须设置为 4。

注意： 在此参数文件的 SchroedingerParameters 部分摘录中，电子的 Formula 值设置为 0，它使用各向同性态密度质量作为量子化质量（）和垂直于它的质量（）。

关键字 Formula 用于选择定义有效质量和带偏移的多个选项之一，这些选项总结在第 1126 页的表 188 中。

表 188 局域化量子阱模型支持的 Formula 值

Formula	描述	限制
0	使用各向同性态密度质量作为 和 。	仅适用于电子。
2	使用 、 和 分别指定电子、重空穴和轻空穴的相对有效质量。	仅适用于电子、轻空穴和重空穴。如果在命令文件中 NumberOfValenceBands 设置为大于 2 的值，则不能使用。不能区分 和 。不能显式指定由应变引起的带偏移。
4	使用 eLadder(...) 规格用于电子，使用 hLadder(...) 规格用于空穴。	仅适用于空穴。
5	基于 BandstructureParameters 和 QWStrain 部分指定的参数，使用抛物线带近似计算有效质量和带偏移，如第 1122 页的闪锌矿晶体的电子能带结构中所述。

闪锌矿晶体的光学跃迁矩阵元素

为了计算 LED 仿真中第 1117 页公式 1190 中定义的自发辐射光谱 ，必须评估光学跃迁矩阵元素。对于沿闪锌矿晶体 c 轴生长的量子阱，不同导带-价带跃迁的偏振相关跃迁矩阵元素可以写成 [5]：

其中 是第 个电子子带和第 个价子带的包络波函数之间的重叠积分。各向异性体动量矩阵元素为：

其中 和 分别表示沿量子化方向平行和垂直的相对电子质量， 表示电子静止质量。角度 定义为：

其中 是电子矢量， 在量子阱子带的 点。

任意偏振建模为 TE 和 TM 偏振的线性组合：

其中 被称为 PolarizationFactor，可以在 QWLocal 部分中设置，如下所示。对于纯 TE 或 TM 仿真，将 Polarization 设置为相应的标识符就足够了：

Physics {
    QWLocal (
        Polarization = TE   # 或 TM
        # Polarization = Mixed
        PolarizationFactor = 0.4   # 必须在区间 [0 1] 内
    )
}

简单量子阱子带模型

本节介绍简单有限量子阱模型的薛定谔方程求解。这是 Sentaurus Device 中的默认模型。这个简单的量子阱（QW）子带模型与独立的 QW 应变（请参阅第 1130 页的应变效应）结合，以模拟大多数（III-V 材料）量子阱系统。

在量子阱中，载流子被限制在一个方向上。人们感兴趣的是束缚态的子带能量和波函数，可以从薛定谔方程求解。在这个简单的 QW 子带模型中，假定电子、重空穴和轻空穴的能带是解耦的，子带通过 1D 薛定谔方程独立求解。

有效质量近似的时不变 1D 薛定谔方程为：

其中 是第 个量子力学波函数， 是第 个能量本征值， 是有限阱形状势。

对于偶波函数，使用以下 ansatz：

对于奇波函数：

公式 1233 变为 [1]：

其中：

第一个超越方程给出偶本征值，第二个给出奇本征值。在计算出子带能量 后，可以立即通过公式 1234 和公式 1235 获得波函数。

在获得波函数和子带能量后，1D 约束系统的载流子密度也通过以下公式计算：

其中 是 0 阶费米积分，、 表示化学势。索引 hh 和 lh 分别表示重空穴和轻空穴。

有效态密度为：

其中 是量子阱的厚度。Sentaurus Device 通过扫描材料区域中 Active 关键字来自动检测每个量子阱的厚度。

量子阱中载流子的有效质量可以在参数文件中更改：

eDOSMass {
    * 有效质量规格 Formula1 (me 近似)：
    * 或 Formula2 (Nc300) 可以使用：
    Formula = 2   # [1]
    * Formula2:
    * me/m0 = (Nc300/2.540e19)^2/3
    * Nc(T) = Nc300 * (T/300)^3/2
    Nc300 = 8.7200e+16   # [cm-3]
    * 与组分相关的模型。
    * 如果仅指定了上述参数，则它们的值将用于任意组分，而不是下面的插值。
    * 使用区间 [0,1] 的线性插值。
    Nc300(1) = 6.4200e+17   # [cm-3]
}
...
SchroedingerParameters: {
    * 对于薛定谔方程的空穴质量，您可以使用不同的公式。
    * formula=1（对于具有类似 Si 空穴能带结构的材料）
    *   m(k)/m0=1/(A+-sqrt(B+C*((xy)^2+(yz)^2+(zx)^2)))
    *   其中 k=(x,y,z) 是倒易空间中的单位法向量。
    *   '+' 用于轻空穴能带，'-' 用于重空穴能带
    * formula=2: 重空穴质量 mh 和轻空穴质量 ml 是显式指定的。
    * Formula 2 参数：
    Formula = 2   # [1]
    ml = 0.027   # [1]
    mh = 0.08    # [1]
    * 与组分相关的模型。
    * 如果仅指定了上述参数，则它们的值将用于任意组分，而不是下面的插值。
    * 使用区间 [0,1] 的线性插值。
    ml(1) = 0.094   # [1]
    mh(1) = 0.08    # [1]
}

简单量子阱模型的语法

当激活 QWTransport 模型时，这个简单的 QW 子带模型是默认模型：

Physics {...
    LED (...
        Optics (...)
            # ----- 指定 QW 模型和物理 ----
            QWTransport
            QWExtension = AutoDetect   # QW 宽度自动检测
        )
    )
}

表 277（第 1715 页）提供了与此简单 QW 模型相关的关键字。