第29章：铁电材料

本章解释在 Sentaurus Device 仿真中如何处理铁电材料。

在铁电材料中，极化 与电场 呈非线性关系。在给定时刻的极化取决于该时刻的电场以及先前时刻的电场。这种历史依赖性导致了众所周知的磁滞现象，该现象被用于非易失性存储器技术。

铁电材料的使用

Sentaurus Device 实现的铁电模型具有次级回路嵌套和记忆擦除特性。图55演示了这些特性，后文的铁电模型部分将详细讨论。

图片：../../../public/images/sdevice/ch29_fig55.png

要激活该模型，请在命令文件的 Physics 部分指定关键字 Polarization。使用可选参数 Memory 来规定次级回路嵌套的最大允许深度。Memory 的最小允许值为2；默认值为10。如果次级回路嵌套变得过深，则次级回路的嵌套特性可能会丢失。但是，极化曲线保持连续。

以下示例在区域 Region.17 中开启铁电模型，并将每个单元和每个网格轴的内存大小设置为20个转折点：

Physics (region = "Region.17") {
   Polarization (Memory=20)
}

要获取极化场的绘图，请在命令文件的 Plot 部分指定 Polarization/Vector。

Sentaurus Device 通过三个参数表征铁电材料的静态特性：剩余极化 、饱和极化 和矫顽场 。图55中的磁滞曲线展示了这些量。

此外，Sentaurus Device 通过弛豫时间 和 以及非线性耦合常数 来参数化铁电材料的瞬态响应（请参阅第948页的铁电模型）。

在 Polarization 参数集中指定这些参数的值。例如：

Polarization
   { * Remanent polarization P_r, saturation polarization P_s,
   * and coercive field F_c for x,y,z direction (crystal axes)
      P_r = (1.0000e-05, 1.0000e-05, 1.0000e-05)    #[C/cm^2]
      P_s = (2.0000e-05, 2.0000e-05, 2.0000e-05)    #[C/cm^2]
      F_c = (2.5000e+04, 2.5000e+04, 2.5000e+04)    #[V/cm]
   * Relaxation time for the auxiliary field tau_E, relaxation
   * time for the polarization tau_P, nonlinear coupling kn.
      tau_E = (0.0000e+00, 0.0000e+00, 0.0000e+00) #[s]
      tau_P = (0.0000e+00, 0.0000e+00, 0.0000e+00) #[s]
      kn     = (0.0000e+00, 0.0000e+00, 0.0000e+00) #[cm*s/V]
}

本例中的参数是材料 InsulatorX 的默认值。对于所有其他材料，所有默认值均为零。任意参数的三个给定数字分别对应网格相应坐标轴的值。如果某个 分量为零，则铁电模型沿相应方向被停用。如果某个 分量非零，则相应的 和 分量也必须非零。此外， 分量必须小于 分量。默认情况下，弛豫时间为零，这意味着极化瞬时跟随施加的电场。

要使用给定的极化状态 开始仿真，请使用可选关键字 initialvector 来规定初始极化向量的分量。initialvector 指定的每个分量的绝对值必须小于或等于相应轴上的剩余极化 。initialvector 的默认值为零向量。

以下示例将区域 R.Ferro 中初始极化向量的分量设置为沿网格每个轴为 1.0e-05 C/cm²：

Physics (Region= "R.Ferro") {
   Polarization (initialvector= (1.0e-05 1.0e-05 1.0e-05))
}

在具有铁电和半导体区域的器件中，可能很难获得 Poisson 方程的初始解。在许多情况下，关键字 LineSearchDamping 可以解决这些问题（请参阅第213页的阻尼牛顿迭代）。要使用此关键字，请按如下方式开始仿真：

coupled (LineSearchDamping=0.01) { Poisson }

默认情况下，铁电极化在每个仿真点都被更新。您可以使用 Solve 部分的 Set 语句来禁止或激活计算。例如：

Solve { ...
   Set ( Polarization (Frozen) ) # freeze the ferroelectric polarization
   ...
   Set ( Polarization (-Frozen) )
         # unfreeze the ferroelectric polarization
   ...
}

Frozen 选项冻结后续 Solve 部分的 Polarization，而 -Frozen 选项再次激活计算。只要 Polarization 被冻结，铁电极化在仿真过程中就不会改变。

由于极化向量分量（请参阅铁电模型）的解耦处理以及极化与电场关系的非线性，对于非矩形结构，生成的极化分布可能无法反映器件对称性。在这种情况下，指定不同于默认值的极化方向（与坐标轴对齐）会有所帮助。这是通过预定义的参考曲面实现的。

在这种情况下，给定空间点的极化向量方向被取为连接该点与指定曲面上最近点的几何最短路径的相反方向。这样的向量垂直于参考曲面。这允许极化向量场跟随器件对称性。例如，对于圆柱形几何结构，如果将曲面作为圆柱体的外部，则极化将沿着连接外部曲面和圆柱体中心的线排列。

以下示例说明如何在仿真场景中使用此功能，其中区域 "R.Ferro" 中的极化垂直于电极 "C.Gate"，后者构成 "S.Gate" 曲面：

Electrode { {Name="C.Gate" ...} }

Math { Surface "S.Gate" (Electrode="C.Gate") }

Physics (Region="R.Ferro") {
   Polarization(SurfaceName="S.Gate" SurfaceReconstruction)
}

全局 Math 部分中定义的 Surface 可以是任意数量的区域或材料界面以及电极的并集（请参阅第1630页的表216）。

当对使用轴对齐网格离散的栅极全环绕结构进行铁电仿真时，建议将 SurfaceName 关键字指定的参考曲面与 SurfaceReconstruction 选项一起使用，如前一个示例所示。此选项激活计算方向极化的改进算法。这种组合减轻了器件几何形状和网格质量对物理结果的影响，并独立于网格获得可靠的极化分布。

铁电模型

向量量 被分割为其在网格坐标系主轴上的分量。这导致一至三个标量问题。Sentaurus Device 使用来自文献[1]的模型（带有瞬态行为的扩展[2]）分别处理每个问题。所实现的方法可以被视为铁电磁滞的 Preisach 模型。

首先，Sentaurus Device 从电场 计算辅助场 ：

其中， 是材料特定的时间常数。对于 或准静态仿真，。

从辅助场，Sentaurus Device 计算辅助极化 。辅助极化 是辅助场 的代数函数：

其中， 是饱和极化， 是矫顽场，且：

其中， 是剩余极化。在方程986中，加号适用于减小的辅助场，减号适用于增大的辅助场。不同的符号反映了材料的磁滞行为。方程986中的 和 来自材料的极化历史，见下文。

最后，从辅助极化和辅助场，Sentaurus Device 计算实际极化 ：

其中， 和 是材料特定常数。对于 或准静态仿真，。

上转折点和下转折点是 - 图中辅助场 扫描方向分别从增大变为减小和从减小变为增大的点。在每个偏置点，最近的上转折点和下转折点 和 必须都位于方程986定义的两条曲线上；这个要求决定了 和 。

Sentaurus Device 在仿真过程中记住遇到的转折点。内存始终包含 作为最旧的转折点和 作为第二旧的转折点。通过使用方程986，这两个点定义了一对曲线，其中 和 ；这两条曲线一起形成饱和回路。所有其他转折点对导致 并定义形成次级回路的一对曲线。

当辅助场离开两个最新转折点的 和 所定义的区间时，这两个转折点从内存中移除；这反映了实验中观察到的记忆擦除。在移除后，这两个最新转折点确定 关系。

由于被丢弃的转折点中较旧的点最初是在由现在确定 的转折点（丢弃后）定义的曲线上达到的，因此极化曲线保持连续。例如，参见图55中的点 e、f 和 i。此外，由两个被丢弃的转折点定义的次级回路嵌套在由当前转折点定义的次级回路内。次级回路的嵌套也是从铁电实验中学到的特性。图55通过回路 f-g 和 i-k 说明了这一点，它们都嵌套在回路 e-h 中，而 e-h 又嵌套在回路 c-d 中。

在小信号（AC）分析中，非常小的周期性信号被添加到 DC 偏置上（请参阅第159页的小信号 AC 分析）。结果，铁电材料每个点的（辅助）极化沿着嵌套在来自偏置电压 DC 变化的主回路中的一个非常小的次级回路变化。此次级回路的平均斜率始终小于回路接触点处主回路的斜率。因此，即使在非常低的频率下，系统的 AC 响应也与从 DC 曲线求导获得的结果不同。

您可以指示 Sentaurus Device 在计算 AC 响应时停留在磁滞回路的主分支上。为此，请按以下示例将 MainLoopAC 指定给 Polarization 关键字：

Physics (Region = "R.Ferro") { Polarization (MainLoopAC) }

这产生了铁电材料 AC 响应计算中的多值蝴蝶形 C-V 特性。在低频率下，以这种方式计算的 AC 响应与 DC 曲线的导数非常相似。

关于转折点内存如何工作的示例，请参见图55。沿序列 a、b、c、d、e、f、g、f、h、i、k、i、e、c 到达极化曲线上的点。为简单起见，假设为准静态过程，因此 和 。从点 a 开始仿真，内存中最新的点是 b（Sentaurus Device 以这种方式初始化它）。第二新的点是负饱和点 (l)，最旧的点是正饱和点 (u)。此内存状态记为 [blu]。对于此状态，a 在减小的场曲线上。从 a 到 b 的曲线段（即系数 c 和 ）由点 l 和 b 确定。

从 a 增大使 a 成为转折点，因此内存变为 [ablu]。当穿过 b 并继续到 c 时，a 和 b 从内存中丢弃。因此，内存变为 [lu]。这两个点确定从 b 到 c 的曲线。在 c 处转弯，c 被添加到内存中，给出 [clu]。从 c 到 d，使用 c 和 l；在 d 处，内存变为 [dclu]；在点 e 处，[edclu]；在点 f 处，[fedclu]；在点 g 处，[gfedclu]。穿过 f 时，两个最新的点 f 和 g 被丢弃，内存为 [edclu]；在 h 处，[hedclu]；在 i 处，[ihedclu]；在 k 处，[kihedclu]。再次到达 i 处，i 和 k 被丢弃，给出 [hedclu]；在 e 处，e 和 h 被丢弃，给出 [dclu]。

在仿真开始时，内存包含一个转折点，选择该点使得点 ， 位于如此定义的次级回路上（例如，在图55中 的情况下为点 b）。模型的特性使得系统不可能处于完全对称的状态。特别是，即使对于对称器件和在仿真的最开始，。这种不对称性对于铁电的原始曲线（例如，图55中的 a-b）最为突出，对于不同符号的电压扫描是不同的。

Ginzburg-Landau-Khalatnikov 方程

Ginzburg-Landau-Khalatnikov 方程通过对铁电极化 的自由能 展开为幂级数来提供铁电材料特性的可靠描述。系统的状态通过最小化关于 的自由能 来确定。铁电材料的有趣特性源于特征多阱自由能-极化 landscape。由于施加的电场，在 的亚稳最小值之间切换会产生电场-极化磁滞现象，用于非易失性存储器技术。通过去极化电场稳定 的鞍点允许铁电负电容操作，用于低功耗计算应用。

仅基于对称性考虑，Landau 理论将自由能 扩展为序参量的幂级数[3][4]。对于铁电相变，此序参量是极化向量 。铁电材料占据区域的自由能写为[3][4]：

在 Ginzburg-Landau-Khalatnikov 框架中，与方程989给出的自由能泛函相关的极化演化控制方程可以写成梯度流形式：

从方程989和方程990，可以推导出场-极化关系：

在这些方程中， 和 分别表示极化向量 （单位 C/cm²）和电场向量 （单位 V/cm）的笛卡尔分量（）。

方程989中铁电焓的每个项都有物理解释，并由一个数据名表示：

• 前三项对应于由于极化而存储的 Landau 能（LandauEnergy）。Landau 能建立了晶体在其最小值处偏好特定自发极化的信息。Landau 系数 、 和 用于参数化能量函数，可以从铁电电容器的电场-极化测量中提取。
• 第四项与极化梯度相关，占据由非均匀极化引起的势能（FEGradientEnergy），被视为形成畴壁的能量成本[3]。这项惩罚了极化向量场的急剧变化。极化畴壁的宽度与由 系数组成的矩阵的最小特征值的平方根成正比。
• 如果极化偏离对应于 最小值的优选状态，则能量成本必须由施加电场 的势能补偿，如第五项所述。这项由数据名 FESwitchingEnergy 表示，强调极化需要与电场对齐。
• 最后一项是与由极化分布产生的电场相关的静电能（FEElectrostaticEnergy）。对于任何极化分布，静电势通过在整个仿真域中求解 Poisson 方程（请参阅方程38）并满足适当的边界条件来确定。

这些列出的铁电焓分量的数据名在 Sentaurus Device 命令文件的 Plot 部分中被认可（请参阅第191页的器件绘图）。

方程991的稳态解 对应于铁电的热平衡状态。在此状态下，当在施加的电场下关于极化分布优化方程989时，自由能达到最小值。平衡极化分布不能是任意的。相反，能量最小化的极化向量场必须满足连续性方程[5]：

方程992表达的电气相容性条件确保极化是无散度的，因此铁电畴保持无电荷。因此，无散度极化分布是能量最小化的。

使用 Ginzburg-Landau-Khalatnikov 方程

要激活该方程，必须在命令文件的按区域或按材料的 Physics 部分中指定关键字 FEPolarization。由于铁电是绝缘体，因此该方程只能针对 Insulator 组的材料激活（请参阅第64页的用户定义材料）。

除了在 Physics 部分激活该方程外，还必须通过在 Solve 部分中添加 FEPolarization 来求解该方程。通常，在使用此方程时建议执行瞬态仿真。这模拟了极化演化的物理过程，并允许您沿着解路径验证自由能的递减特性，以收敛到物理相关解。

以下示例在区域 GateOxide 中求解该方程。首先，单独求解 Poisson 方程以获得静电势的初始猜测。其次，执行1秒的瞬态仿真以找到器件的初始状态。然后，通过使用瞬态斜坡命令（请参阅第154页的瞬态斜坡）将栅极触点从 时的初始值偏置到 时的 1V：

Physics ( Region="GateOxide" ) {
   FEPolarization
}
Solve {
   Poisson
   Transient (
      InitialTime=0 FinalTime=1
   ) { Coupled { Poisson FEPolarization } }
   Transient (
      InitialTime=1 FinalTime=2
      Goal { name="Gate" Voltage=1 }
   ) { Coupled { Poisson FEPolarization } }
}

您可以通过在 Plot 部分添加以下关键字来绘制极化向量场：

• FEPolarization/Vector 用于绘制顶点上的极化向量分布
• FEPolarization/Element/Vector 用于基于单元的绘图（请参阅第191页的器件绘图）

例如，以下语句将 FEPolarization 顶点向量数据集保存到输出文件：

Plot { FEPolarization/Vector }

模型参数如下：

• 、 和 是铁电材料参数，通常从测量中提取。
• 是与极化切换动力学相关的粘度（动力学系数）。
• 是自由能极化梯度项的耦合系数。

这些参数可以在参数文件中访问，可以按区域或按材料指定。铁电特性默认被认为是各向同性的。因此，方程991中的多个系数可以替换为单个标量值： = alpha， = beta， = gamma， = g。例如：

FEPolarization {
   alpha =-1.3e+10           # cm/F
   beta = 1.3e+20            # cm^5/(FC^2)
   gamma = 0.0               # cm^9/(FC^4)
   g     = 1.0e-03           # cm^3/F
   rho   = 1.0e+04           # Ohm*cm
}

此示例对应于经历二阶（连续）相变的铁电，因为 alpha < 0 且 beta > 0。对于一阶（不连续）相变，设置 alpha < 0、beta < 0 且 gamma > 0。通常，beta 或 gamma 或两个系数都必须设置为正值。g 的典型值范围为 到 cm³/F。不支持这些参数的摩尔分数依赖性。

表160 Ginzburg-Landau-Khalatnikov 方程的参数和默认值

名称	描述	默认值	单位
alpha	参数	–4e9	cm/F
beta	参数	–5e16	cm⁵/(FC²)
gamma	参数	5e25	cm⁹/(FC⁴)
g	梯度项	1e-3	cm³/F
rho	粘度	2.25e4	Ω·cm

无散度极化约束（方程992）的质量由全局 Math 部分中使用的 FEPolarizationIP 参数控制：

Math { FEPolarizationIP=1.0 }

此值适用于激活 Ginzburg-Landau-Khalatnikov 方程（FEPolarization）的所有区域。通常，FEPolarizationIP 的值越高，极化向量场的无散度条件近似越好。但是，过高的 FEPolarizationIP 值可能会掩盖状态方程，导致错误的仿真结果。因此，在调整此参数时要小心。推荐值为 O(1) 数量级。FEPolarizationIP 的默认值为零。

铁电材料的各向异性特性可以通过引用 FEPolarization_tensor 参数集来建模。要使用它，请在激活模型的 Physics 部分指定 FEPolarization(Tensor)。在此参数集中，Landau 系数 = alphai、 = betai 和 = gammai 的每个元素对应于网格相应坐标轴上的 极化分量，其中 。类似地，各向异性极化梯度因子 的元素影响 方向上 极化分量的空间导数，其中 。

通常，极化梯度系数 形成对称的 张量。由于对称性，它只有六个独立分量，用压缩的六分量向量表示（Voigt 形式）表示很方便：

这用于 FEPolarization_tensor 参数集。

在以下示例中，模拟了一种材料，该材料仅在坐标系的 x 轴和 y 轴上表现出铁电特性。在网格的 z 方向上，它表现得像线性电介质：

FEPolarization_tensor {
    alpha1 =-1.3e+10 # [cm/F]
    alpha2 =-1.3e+10 # [cm/F]
    alpha3 = 1.3e+12 # [cm/F]
    beta1 = 1.3e+20 # [cm^5/(FC^2)]
    beta2 = 1.3e+20 # [cm^5/(FC^2)]
    beta3 = 0.0        # [cm^5/(FC^2)]
    gamma1 = 0.0       # [cm^9/(FC^4)]
    gamma2 = 0.0       # [cm^9/(FC^4)]
    gamma3 = 0.0       # [cm^9/(FC^4)]
    g1     = 1.0e-03 # [cm^3/F]
    g2     = 1.0e-03 # [cm^3/F]
    g3     = 1.0e-03 # [cm^3/F]
    g4     = 1.0e-03 # [cm^3/F]
    g5     = 1.0e-03 # [cm^3/F]
    g6     = 1.0e-03 # [cm^3/F]
    rho    = 1.0e+04 # [Ohm*cm]
}

这种各向异性铁电材料可以成功地集成在 3D FinFET 器件中，其中网格的 z（）轴被假定为输运方向。在这种情况下，铁电场效应由垂直于沟道的 x 和 y 极化分量引起。沿沟道没有铁电效应对器件操作的影响可以忽略不计。

默认情况下，所有极化向量分量都初始化为零。您可以使用 SFactor 参数指定数据集名称（其中包括从 PMIUserField0 到 PMIUserField299 的 PMI 用户字段），从中初始化初始极化向量分量的顶点值。如果未指定数据集名称，则相应的向量分量被设置为零。以下示例从区域 FE1 中的 PMIUserField1 数据集初始化铁电极化向量的 y 分量：

Physics (Region="FE1") {
   FEPolarization( sFactor=("","PMIUserField1","") )
}

或者，SFactor 值可以在参数文件中指定，这会导致均匀的初始极化：

Region = "FE1" {
   FEPolarization_tensor {
      ...
      sfactor1 = 0.     # x component [C/cm^2]
      sfactor2 = 1e-6   # y component [C/cm^2]
      sfactor3 = 0.     # z component [C/cm^2]
   }
}

求解器版本

有不同的求解器版本可用：

• 默认版本
• 多维版本
• 求解器 II

默认版本

对于默认的 FEPolarization 求解器（首次在 Version O-2018.06 中可用），不支持无散度极化约束（方程992）。因此，FEPolarizationIP 参数被忽略。

此外，您必须在 Physics 部分的 FEPolarization 语句中指定沿轴的方向。例如：

Physics (Region="GateOxide") {
   FEPolarization ( direction="x" )
}

其中，x 定义要求解的可切换极化分量。direction 参数仅接受 x、y 或 z 作为其值。极化可以沿指定方向求解，这是垂直于栅极的方向，鉴于极化向量只能沿此方向切换。要求解三栅结构或 FinFET，您可以定义不同的铁电区域，并在每个区域中指定适当的方向。

注意： 模型参数可以在命令文件或参数文件中定义，但 direction 只能在命令文件中定义。

使用参数文件时，您使用 FEPolarization 参数集（请参阅第953页的表160），它与默认实现相同，只是此版本支持复合材料的摩尔分数依赖参数（请参阅第76页的成分依赖材料参数）。但是，不可能将此求解器与 FEPolarization_tensor 参数集一起使用。

注意： 当您在命令文件和参数文件中都定义参数时，命令文件中的参数优先。此外，所有参数必须完全在命令文件或参数文件中定义。不允许混合定义。

由于此版本仅求解极化向量场的一个分量，因此输出存储在标量数据集 FEPolarization 中，而不是向量数据集中。

要绘制 FEPolarization，请指定：

Plot { FEPolarization }

默认情况下，极化场初始化为零。您可以使用 sFactor 设置极化的初始值。以下示例将极化场 初始化为存储在 PMIUserField1 中的值：

Physics (Region="GateOxide") {
   FEPolarization ( direction="x" sFactor=("PMIUserField1") )
}

多维版本

要同时求解极化向量场所有笛卡尔分量，建议使用此版本的 FEPolarization 求解器，它通过在全局 Math 部分指定 CompatibleFEPolarization 关键字来激活。此版本支持 FEPolarizationIP 参数用于模拟螺线管（无散度）极化向量场，如以下示例所示：

Math {
   CompatibleFEPolarization
   FEPolarizationIP=1.0
}

您还必须在 Physics 部分的 FEPolarization 语句中设置 direction="all"：

Physics { FEPolarization ( direction="all" ) }

使用 CompatibleFEPolarization 时，如果铁电区域不是矩形，必须特别小心。您可能会观察到靠近非轴对齐界面处极化的非物理衰减。

可以通过降低 FEPolarizationIP 的值来缓解此问题。但是，这可能导致极化无散度条件的近似较差，这对数值稳定性产生负面影响。对于具有非矩形区域的结构，建议使用默认的 FEPolarization 方法。

此版本支持 FEPolarizationIP 参数用于模拟螺线管（无散度）极化向量场。

注意： 此版本不支持 FEPolarization_tensor 参数集。

求解器 II

可以通过在全局 Math 部分指定 FEPolarizationSolver2 关键字来激活新版本的求解器，从而消除前面讨论的几何限制。

此求解器支持 FEPolarizationIP 参数和参数集 FEPolarization_tensor，并且是最稳定的求解器。

但是，由于数值和软件相关的原因，以下物理模型尚不能与 Ginzburg-Landau-Khalatnikov 方程一起使用：

• 第250页的偶极子层
• 第261页的热力学电流密度模型
• 第262页的流体动力学电流密度模型
• 温度方程（请参阅第266页的第9章）
• 第281页的改进欧姆接触
• 第282页的绝缘体上的接触
• 第302页的悬浮接触
• 第307页的周期边界条件
• 第579页的显式陷阱占据
• 第634页的氧化物中氢的扩散
• 第640页的绝缘体降解
• 隧穿（请参阅第855页的第24章）
• 第1463页的铁电

此外，并非所有数值技术都可以与 Ginzburg-Landau-Khalatnikov 方程一起使用。以下方法不支持：

• 混合模式仿真（请参阅第96页的第3章）
• 第159页的小信号 AC 分析（或第1243页的 AC 仿真）
• 第164页的谐波平衡（或第1245页的谐波平衡分析）
• 第1252页的 TRBDF 复合方法

Bitlis 求解器

有一种专门的线性求解器可用于静电问题，包括 Poisson 和 FEPolarization 方程。您可以通过指定 Bitlis 作为 Method 关键字的选项来激活此求解器，该关键字用于 Sentaurus Device 中选择各种求解算法（请参阅第220页的线性求解器以获取有关 Method 关键字的详细信息）。

迭代线性求解器 Bitlis 实现广义最小残差（GMRES）方法。该求解器的参数在全局 Math 部分的求解器声明后的括号中指定，如下所示：

Math {
   Method = Bitlis (Restart=100, Tolerance=1e-5, Iterations=200)
}

参数 Restart 确定 GMRES 背向量的数量。如果在给定的 Restart 数量内解未收敛，则 GMRES 重启迭代。更多的背向量可以改善收敛，但会牺牲更高的内存和执行时间。Tolerance 系数控制迭代方法的停止准则。如果残差的范数减少到此因子或达到最大迭代次数，则方法停止。后者由 Iterations 参数指定。表161列出了这些参数的默认值。

表161 Bitlis 求解器的参数

参数	默认值
Iterations	200
Restart	100
Tolerance	1e-8

Bitlis 求解器可以与多重网格预处理器结合使用，以实现良好的性能并减少计算解的时间。多重网格方法试图在网格层次结构上近似原始离散方程，并使用粗网格上的解来加速最细网格上的收敛。您可以通过在全局 Math 部分指定 MGPreconditioner 语句来激活 Sentaurus Device 中的多重网格预处理器。此语句接受控制多重网格算法的多个参数：

Math {
   MGPreconditioner(
       MaxLevels=3,
       MinSize=20,
       RelaxationError=1e-10,
       MaxIterations=3,
       SolutionError=1e-8,
       MaxCycles=3
   )
}

参数 MaxLevels 允许您声明最大插值级别数，以在 Sentaurus Device 中构建多重网格层次结构。参数 MinSize 更改多重网格层次结构，可用于指定最粗网格的最小大小。如果当前级别大小小于此数字，Sentaurus Device 将不会创建更多的插值级别。

在最粗的级别上，调用直接线性求解器 PARDISO 来求解近似的离散问题。此问题的解使用多重网格技术插值到最细网格。在这个过程中，误差平滑是必要的。为此，调用基本迭代阻尼 Jacobi 方法的几轮迭代。参数 RelaxationError 控制误差的平滑度，因为它声明了平滑器的收敛准则。也就是说，如果预处理残差的范数减少到此因子，则平滑迭代停止。最大平滑迭代次数由 MaxIterations 参数设置。更好的收敛和更多的平滑迭代提高了多重网格预处理器内近似解的质量。但是，在这种情况下，多重网格预处理器在每个 GMRES 迭代中的应用时间会增加。

参数 SolutionError 和 MaxCycles 控制多重网格预处理器的整体收敛。

仅对 Bitlis 迭代方法的 Poisson 和 FEPolarization 方程的解进行加速。其他方程使用 PARDISO 求解（请参阅第220页的线性求解器以获取有关此方法的详细信息）。

注意： 如果您在 Math 部分指定了 MGPreconditioner 语句但未使用 Bitlis 求解器，则该语句对线性求解没有影响。Bitlis 求解器与 Blocked 方法不兼容。

参考文献

[1] B. Jiang et al., "Computationally Efficient Ferroelectric Capacitor Model for Circuit Simulation," in Symposium on VLSI Technology, Kyoto, Japan, pp. 141-142, June 1997.

[2] K. Dragosits, Modeling and Simulation of Ferroelectric Devices, PhD thesis, Technische Universität Wien, Vienna, Austria, December 2000.

[3] P. Chandra and P. B. Littlewood, "A Landau Primer for Ferroelectrics," Topics in Applied Physics, vol. 105, pp. 69-116, 2007.

[4] N. Ng, R. Ahluwalia, and D. J. Srolovitz, "Depletion-layer-induced size effects in ferroelectric thin films: A Ginzburg-Landau model study," Physical Review B, vol. 86, p. 094104, September 2012.

[5] L. D. Landau and I. M. Khalatnikov, "On the Anomalous Absorption of Sound Near a Second Order Phase Transition Point" (Dokl. Akad. Nauk SSSR, 96, 469, 1954), Collected Papers of L. D. Landau, D. Ter Haar (ed.), Oxford: Pergamon, pp. 626-629, 1965.