第9章：晶格与载流子温度方程

来源: Sentaurus Device User Guide W-2024.09 PDF 第267-280页

均匀自加热（Uniform Self-Heating）

均匀自加热模型是一种简单的自加热效应模型，无需求解晶格热流方程即可捕获自加热效应。自加热效应可通过均匀温度来描述，该温度与偏置相关或与电流相关。全局温度由全局热平衡方程计算，其中耗散功率等于边界热通量之和（具有有限热阻的热电极上）：

其中：

是器件全局温度。
和是未连接热回路的热电极的温度和热阻。
和是连接热回路的热电极的温度和热阻。

当器件未连接到任何热回路时，方程（71）中的第二个求和项为零。

对于连接到热回路的热电极，会求解一个额外的热回路方程，以获取相应热电极的温度。该热回路方程源自以下条件：流经连接热电极的热通量等于流经该热电极所连接的热回路元件的热通量。

在热电极连接到热电阻的情况下，热回路方程为：

其中：

左侧表示热电极处的热通量。
右侧表示流经热电阻的热通量。
是热电阻两端的温差。

对于热电容，热方程变为：

其中是瞬态模拟中热电容两端的温差。

NOTE

如果热电极未指定热阻或热导，则默认假设固定热电极温度的 Dirichlet 边界条件。在这种情况下，热电极不计入方程（71）右侧的求和中，因为相应的热通量为零。当所有热电极都未指定任何热阻或热导时，方程（71）无法求解。

耗散功率可以计算为：所有端子电流与其相应端子电压的乘积之和 ()、用户指定节点的 IV 之和，或总焦耳热。

全局温度对于瞬态或准稳态模拟中的点（当前点），基于前一点处对的估计和同一点处的求解温度来计算。

NOTE

对于均匀自加热，温度通过后处理获得，而非与所有其他求解变量自洽计算。因此，仿真结果可能取决于准稳态或瞬态仿真中使用的仿真时间步长。此外，均匀自加热不能用于 AC、噪声或谐波平衡仿真。

使用均匀自加热

在全局 Physics 部分中使用 PostTemperature 关键字激活均匀自加热方程：

tcl

Physics {
    PostTemperature
    ...
}

热电极处的热通量在 Thermode 部分中通过指定 Temperature 和 SurfaceResistance 或 SurfaceConductance 来定义：

tcl

Thermode {
    {Name= "top" Temperature=300 SurfaceConductance=0.1}
    ...
    {Name= "bottom" Temperature=300 SurfaceResistance=0.01}
}

可以通过命令文件中 PostTemperature 的选项来选择的计算方式：

计算所有电极的：

tcl

Physics {
    PostTemperature(IV_diss)
    ...
}

计算用户选定的电极的：

tcl

Physics {
    PostTemperature(IV_diss("contact1" "contact2"))
    ...
}

计算器件体积内焦耳热的积分：

tcl

Physics {
    PostTemperature
    ...
}

均匀自加热可用于准稳态或瞬态仿真。由于该功能替代了晶格热流方程（方程73、方程77和方程83），因此不能与在 Coupled 部分中激活的晶格温度方程一起使用。

晶格温度的简单模型

即使未激活热力学模型或流体动力学模型，Sentaurus Device 也可以计算与空间相关的晶格温度。温度方程为：

其中能量密度和能量通量为：

和是焦耳热项，最后的碰撞项描述了由激活的生成-复合过程引起的能量增益/损失：

其中：

是有效带隙
是总复合率
是光子能量
是光学产生率

通常的影响很小，因此默认未激活。要考虑此能量源，必须在 Physics 部分中指定 RecGenHeat 关键字。

在金属中，方程（73）退化为：

其中：

是金属中的费米势。
是金属电流密度（见方程148）。

使用晶格温度的简单模型

由于默认使用热力学模型（见下面的热力学模型），要使用晶格温度的简单模型，必须在 Physics 部分中指定 -Thermodynamic，同时在 Solve 部分的 Coupled 语句中指定 Temperature 关键字。

要在接触处、或金属-半导体界面、或导电绝缘体-半导体界面处考虑 Peltier 热，请显式激活 Peltier 加热模型。见接触处、金属-半导体和导电绝缘体-半导体界面的加热，第1075页。

热力学晶格温度模型

使用热力学模型时，晶格温度由以下方程计算：

其中：

是热导率（见第1058页热导率）。
是晶格热容（见第1056页热容）。
和分别是导带和价带能量。
是频率为的光子光学产生率（见第683页第21章）。
和分别是电子和空穴净复合率。
电流密度和的计算如第261页热力学模型电流密度中所述。

在金属中，方程（77）退化为：

其中：

是金属的热功率。
是金属中的费米势。
是金属电流密度（见方程148）。

总热量及其组成部分

方程（77）的右侧是总热量。在稳态情况下，第二项和第三项消失，即总热量由下式给出：

电子部分可重写为：

其中：

是区域界面处的表面法向量。
是区域界面处的表面 delta 函数。
表示函数跨区域界面的跳跃。

所得的四项通常分别称为电子部分的焦耳热、汤姆森热、Peltier 热和复合热。

使用热力学晶格温度模型

要使用热力学模型，必须在 Solve 部分的 Coupled 语句中指定 Temperature 关键字。不需要在 Physics 部分中指定模型，因为默认使用热力学模型。但是，可选地，仍可以在 Physics 部分中指定 Thermodynamic 关键字。

默认情况下，热力学模型不考虑非局域线隧穿的加热机制。因此，要同时考虑非局域线隧穿的加热，必须将 NLLTunnelingRecGenHeat 选项添加到 Thermodynamic 关键字中，即 Thermodynamic(NLLTunnelingRecGenHeat)。

要在接触处、或金属-半导体界面、或导电绝缘体-半导体界面处考虑 Peltier 热，请显式激活 Peltier 加热模型（见第1075页接触处、金属-半导体和导电绝缘体-半导体界面的加热）。

晶格温度模型的绘图选项

要绘制晶格热通量向量，在 Plot 部分中指定 IHeatFlux 关键字（见第191页器件绘图）。

Sentaurus Device 允许绘制总热量产生率以及总热量的各个组成部分。总热量产生率是方程73或方程77右侧的项。使用 Plot 部分的 TotalHeat 关键字绘制。总热量和各个组成部分仅在 Sentaurus Device 求解温度方程时计算。

表30 显示了各个加热机制的公式以及命令文件 Plot 部分中使用的相应关键字（第191页器件绘图）。各个热项和总热量的摘要也写入 .log 文件。

此外，每当求解自加热方程时，Sentaurus Device 会在绘图文件和日志文件中报告器件的最大、最小和平均温度：

器件中的最大温度 (Tmax) 作为偏置条件的函数
器件中的最小温度 (Tmin) 作为偏置条件的函数
器件中的平均温度 (Tavg) 作为偏置条件的函数

如果未请求晶格温度求解，器件温度不受监控，与默认晶格温度（即室温）相同。

表30：命令文件 Plot 部分中使用的热名称和关键字

热名称	关键字	简单模型公式	TD 模型公式
电子焦耳热	ejouleHeat
空穴焦耳热	hJouleHeat
金属和导电绝缘体中的焦耳热	JouleHeat		—
复合热	lRecGenHeat
汤姆森+Peltier 热 [1]	ThomsonHeat		—
Peltier 热	PeltierHeat	—

流体动力学温度模型

亚微米器件无法使用传统的漂移-扩散输运模型进行适当描述。特别是，漂移-扩散方法无法再现速度过冲，且常常高估了碰撞电离产生率。在这种情况下，流体动力学（或能量平衡）模型在物理精度和计算时间之间提供了良好的折衷。

自从 Stratton [2] 和 Bløtekjær [3] 的工作以来，该模型有许多变体。完整公式包含对流项 [4]。Sentaurus Device 实现了不含对流项的简化公式。除泊松方程（方程38）和连续性方程（方程59）外，还可求解最多三个关于晶格温度和载流子温度和的附加方程。

能量平衡方程为：

其中能量通量为：

且

、、和的定义与方程66和方程67相同。

参数、、和可在 Sentaurus Device 的参数文件中访问。这些参数的不同值会显著影响物理结果（如速度分布和可能的虚假速度峰值）。通过更改这些参数，Sentaurus Device 可以调整为文献中描述的非常广泛的流体动力学或能量平衡模型集合。Sentaurus Device 的默认参数值为：

通过更改常数和，可以独立更改对流项和扩散项的贡献。使用 Sentaurus Device 的默认输运参数集，扩散项的前因子形式为：

碰撞项由以下方程组表示：

其中、和是由生成-复合过程引起的能量增益/损失项。这些项的表达式基于近似 [5]，对于主要生成-复合现象具有以下形式：

其中：

是 Shockley-Read-Hall (SRH) 复合率（见第500页 Shockley-Read-Hall 复合）。
是辐射复合率（见第515页辐射复合模型）。
和是与电子和空穴相关的俄歇复合率（见第516页俄歇复合模型）。
是光子能量（见第276页流体动力学模型参数）。
是描述光子剩余能量如何在带间分配的无量纲参数（见第276页流体动力学模型参数）。
和是碰撞电离率（见第521页雪崩产生）。
和是通过陷阱能级的复合率（见第572页第17章）。
是光学产生率（见第683页第21章）。

表面复合以类似于体 SRH 复合的方式考虑。通常、和的影响很小，因此默认未激活。要考虑这些能量源，必须在 Physics 部分中指定 RecGenHeat 关键字。

能量密度、和由下式给出：

相应的平衡能量密度为：

方程（92）至（94）中的参数和提高了数值稳定性。它们加速了小密度时的弛豫，并在大密度时接近：

类似。这里和是可调的小密度参数。

流体动力学模型参数

默认的输运系数集（方程89和方程90）可在参数文件中更改。系数和分别在 EnergyFlux 和 HeatFlux 参数集中指定。能量弛豫时间和可以在 EnergyRelaxationTime 参数集中修改。

方程（95）和（96）中的将光学产生率的贡献分配到能量增益或损失项和中。OptGenOffset 指定，其值介于0和1之间（默认值为0.5）。方程（95）和（96）中的角频率对应于计算光学产生率时指定的波长。如果光学产生是从文件加载的（见第806页光学 AC 分析），则此波长由 OptGenWavelength 定义。

OptGenOffset 和 OptGenWavelength 都是 RecGenHeat 的选项（见第1676页表242）。

方程（103）中的和参数分别通过全局 Math 部分中的 RelTermMinDensity 和 RelTermMinZeroDensity 设置。和的默认值分别为 cm⁻³ 和 cm⁻³。

温度方程的数值参数

本节介绍温度方程的数值参数。

晶格和载流子温度的有效范围

晶格温度和载流子温度存在下限和上限。

允许的温度范围由 lT_Range=(<float> <float>)（默认值为50 K 和 5000 K）和 cT_Range=(<float> <float>)（默认值为10 K 和 80000 K）指定。这些范围适用于牛顿迭代期间的温度和最终结果。

晶格热产生的缩放

对于晶格热方程，可以通过以下方式关闭热项：

tcl

Physics ( Region="Bulk" ) { ... HeatPreFactor = 0. }

这会减少或甚至消除晶格热方程与载流子连续性方程之间的强耦合（由焦耳热引起），通常会产生平滑的温度分布。这种简化的载流子输运和晶格温度耦合系统可能比包含热项的完全耦合系统更容易收敛。与其将完全耦合系统斜升到所需的偏置条件，不如先将简化耦合系统斜升到所需的偏置条件，然后再将 HeatPreFactor 从零斜升到一，这样可能更容易。

NOTE

由于半导体方程的强非线性，通常允许多个解，并且对于具有强生成-复合率的示例，HeatPreFactor 斜升可能导致不同但仍然有效的解。

在命令文件中，第二个斜升可以是：

tcl

Quasistationary (
    Goal { Region="Bulk" ModelParameter="Physics/HeatPreFactor" Value=1 }
) { Coupled { Poisson Electron Hole Temperature } }

NOTE

Goal 语句要求指定 Region，并且相应的 region 必须在命令文件中指定 Physics 部分。

参考文献

[1] K. Kells, General Electrothermal Semiconductor Device Simulation, Series in Microelectronics, vol. 37, Konstanz, Germany: Hartung-Gorre, 1994.

[2] R. Stratton, "Diffusion of Hot and Cold Electrons in Semiconductor Barriers," Physical Review, vol. 126, no. 6, pp. 2002–2014, 1962.

[3] K. Bløtekjær, "Transport Equations for Electrons in Two-Valley Semiconductors," IEEE Transactions on Electron Devices, vol. ED-17, no. 1, pp. 38–47, 1970.

[4] A. Benvenuti et al., "Evaluation of the Influence of Convective Energy in HBTs Using a Fully Hydrodynamic Model," in IEDM Technical Digest, Washington, DC, USA, pp. 499–502, December 1991.

[5] D. Chen et al., "Dual Energy Transport Model with Coupled Lattice and Carrier Temperatures," in Simulation of Semiconductor Devices and Processes (SISDEP), vol. 5, Vienna, Austria, pp. 157–160, September 1993.

第9章：晶格与载流子温度方程 ​

均匀自加热（Uniform Self-Heating） ​

使用均匀自加热 ​

晶格温度的简单模型 ​

使用晶格温度的简单模型 ​

热力学晶格温度模型 ​

总热量及其组成部分 ​

使用热力学晶格温度模型 ​

晶格温度模型的绘图选项 ​

流体动力学温度模型 ​

流体动力学模型参数 ​

温度方程的数值参数 ​

晶格和载流子温度的有效范围 ​

晶格热产生的缩放 ​

参考文献 ​

第9章：晶格与载流子温度方程

均匀自加热（Uniform Self-Heating）

使用均匀自加热

晶格温度的简单模型

使用晶格温度的简单模型

热力学晶格温度模型

总热量及其组成部分

使用热力学晶格温度模型

晶格温度模型的绘图选项

流体动力学温度模型

流体动力学模型参数

温度方程的数值参数

晶格和载流子温度的有效范围

晶格热产生的缩放

参考文献