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第7章：泊松方程与准费米能级 ​

来源: Sentaurus Device User Guide W-2024.09 PDF 第247-266页

静电势 ​

静电势是泊松方程的解，其形式为：

其中：

  • 为介电常数
  • 为铁电极化强度（详见第29章，第945页）
  • 为元电荷
  • 和 分别为电子和空穴浓度
  • 为电离施主浓度
  • 为电离受主浓度
  • 为陷阱和固定电荷贡献的电荷密度（详见第17章，第572页）

静电势的数据集名称为 ElectrostaticPotential。式(38) 右侧（除以 ）存储在 SpaceCharge 数据集中。求解（ Solve）部分中泊松方程的关键字为 Poisson。

相对介电常数（即以真空介电常数 为单位的介电常数）由 Epsilon 参数集中的 epsilon 参数给出。泊松方程的边界条件详见第10章（第280页）。

偶极层 ​

在材料界面上，不动电荷的偶极层可能导致界面两侧的电势发生突变。其模型为：

其中：

  • 和 分别为界面两侧的静电势（索引1为参考侧）
  • 为偶极子面密度
  • 为真空介电常数
  • 为界面相对介电常数
  • 为元电荷

偶极界面模型可通过对绝缘体-绝缘体界面在 Physics 部分中指定以下内容来调用：

tcl
Dipole ( Reference = "R1" )

其中 Reference 表示界面的参考侧，可以是区域名称或材料名称。

模型的参数在参数文件的区域或材料界面部分的 Dipole 参数集中给出，详见表29。

NOTE

在异质界面和偶极界面的交点等临界位置，半导体区域必须通过界面相连。带有隧穿的界面陷阱不能位于偶极界面上。

表29：偶极子模型参数

符号参数名默认值单位
sigma_D0cm⁻¹
epsilon3.91

平衡解的准费米能级 ​

对于特定模型（详见第281页的"改进型欧姆接触"、第286页的"肖特基接触的势垒降低"、第303页的"浮空半导体接触"和第322页的"导电绝缘体"），需要内部计算平衡静电势。在这种情况下，泊松方程在任何其他 Coupled 语句之前求解，并将解保存以供模拟过程中使用。

您可以控制平衡泊松方程非线性求解器的参数。在 Math 部分中，可以将第1780页表349中描述的 Iterations、Digits、NotDamped、LineSearchDamping 和 RelErrControl 参数作为 EquilibriumSolution 的选项来控制牛顿求解器的行为。

以下示例强制牛顿求解器以7位数为目标精度、最大迭代次数100次来求解平衡解：

tcl
Math {
    ...
    EquilibriumSolution(Iterations=100 Digits=7)
    ...
}

玻尔兹曼统计下的准费米能级 ​

电子和空穴密度可以根据电子和空穴的准费米能级计算，反之亦然。

假设玻尔兹曼统计，公式为：

其中：

  • 和 为有效态密度
  • 和 分别为电子和空穴的准费米能级
  • 和 分别为电子和空穴的准费米势
  • 和 分别为导带底和价带顶，定义为：

为常数参考电势（见下文）。准费米能级的零点与施加在接触上的电压零点一致。

在单极器件（如MOSFET）中，有时可以假设少数载流子的准费米能级在某些区域为常数。在这种情况下，少数载流子的浓度可以直接由上式计算。如果在 Solve 部分的一个 Coupled 语句中未指定某种载流子（电子或空穴），Sentaurus Device 将采用此策略。Sentaurus Device 使用近似方案来确定准费米能级的常数值的器件。

NOTE

在许多情况下，如果雪崩产生很重要，即使对于单极器件也不能应用单载流子近似。

、、 和 的数据集名称分别为 eQuasiFermiEnergy、eQuasiFermiPotential、hQuasiFermiEnergy 和 hQuasiFermiPotential。

参数 ConstRefPot 允许您显式指定 。否则，Sentaurus Device 根据真空能级计算 ，规则如下：

  • 如果模拟的半导体结构中有硅，则选择硅的 intrinsics 费米能级作为参考，(Si)
  • 否则，如果任何模拟器件结构包含 GaAs，则 (GaAs)
  • 在所有其他情况下，Sentaurus Device 选择带隙最小的材料（假设摩尔分数为0），并取其 intrinsics 费米能级作为

费米统计 ​

前面几节中的方程假设了电子和空穴的玻尔兹曼统计。物理上更精确的费米（也称费米-狄拉克）统计也可以使用。费米统计在载流子密度较高的区域变得重要，例如在硅器件有源区域中 cm⁻³ 时。

对于费米统计，上式替换为：

其中 为 阶费米积分。

或者，您可以将这些表达式写为：

其中 和 是 和 的函数：

使用费米统计 ​

要激活费米统计，必须在 Physics 部分指定 Fermi 关键字：

tcl
Physics {
    ...
    Fermi
}

默认使用 Joyce-Dixon 近似来计算式中的费米积分。也可以使用基于 Fukushima 近似的替代方法（对于 费米积分），它在准确性和效率方面可能有优势，可以通过以下命令启用：

tcl
Physics {
    ...
    Fermi (withFukushima)
}

NOTE

费米统计只能针对整个器件激活。不支持按区域或材料激活，Fermi 关键字可以在任何 Physics 部分中定义。

掺杂井中静电势和准费米能级的初始猜测 ​

为了确定静电势和准费米能级的初始猜测，器件被划分为掺杂井区域。掺杂井区域是由非半导体元素或真空边界包围的一组相连的半导体元素组成的半导体区域（一个掺杂井区域可能包含多个网格半导体区域）。然后，每个掺杂井区域进一步细分为 n 型和 p 型掺杂井，使 p-n 结（DopingConcentration=0）作为井之间的分界。对于有多个接触的掺杂井，进一步细分，使没有井与超过一个接触关联。每个井唯一地连接到一个接触或没有接触（浮空井）。

NOTE

Sentaurus Device 使用整数枚举所有掺杂井。可以通过绘制 DopingWells 字段来可视化掺杂井的索引。

在有接触的井中，多数载流子的准费米能级设置为与该井关联的接触上的电压。对于没有接触的井，多数载流子的准费米能级由以下方程定义：

其中：

  • 和 分别为所考虑的悬浮井所在掺杂井区域中有接触的半导体井的接触电压的最小值和最大值
  • 为可调参数，默认值为0。要更改 的值，请在 Physics 部分使用 FloatCoef 关键字

如果一个井有接触，并且它是其所属掺杂井区域中唯一的井，则少数载流子的准费米能级设置为等于多数载流子的准费米能级。对于所有其他井，如果井为 n 型或 p 型，则少数载流子的准费米能级分别设置为 或 。

井中的静电势设置为多数载流子准费米能级加上内建电势的值，即初始解将满足所有半导体区域中的电中性。

按区域指定初始准费米能级 ​

您可以按区域设置初始准费米能级。这在电荷耦合器件（CCD）模拟中特别有用，因为CCD单元或区域必须处于某种初始状态（通常为深耗尽）。通过指定初始准费米能级，区域或区域集可以在模拟开始时达到适当的状态。

电子和空穴的初始准费米能级可以在 Physics 部分中使用 eQuasiFermi（电子）和 hQuasiFermi（空穴）按区域指定，后跟电压值（伏特）：

tcl
Physics(Region="region_1") {
    eQuasiFermi = 10
}

当初始准费米能级所对应的载流子的连续性方程被求解时，初始准费米能级会被重新计算。如果指定了准费米能级的载流子的连续性方程没有被求解，则准费米能级不会改变。在这种情况下，器件可以通过准稳态或瞬态模拟偏置到初始状态，同时保持指定的初始准费米能级。

从线性传导方程出发的准费米能级替代初始猜测 ​

Sentaurus Device 提供了一种替代方法来初始化半导体材料中的准费米能级。它比在掺杂井中初始化计算量更大，但通常能提供更好的结果，特别是在每个掺杂井区域有多个接触的复杂器件结构中。

这种方法中，线性传导方程的解：

分别作为电子和空穴准费米能级 和 的初始猜测。

电子（）和空穴（）的电导系数近似为：

其中 、 为平衡载流子浓度，、 为常数载流子迁移率。浓度 和 通过调用电中性条件（式104，第280页）和质量作用定律（式105，第280页）计算。迁移率 和 取自 ConstantMobility 参数集中电子和空穴的 mumax 参数值（见第412页"声子散射导致的迁移率"）。

求解式54和式55时使用的边界条件为：

  • 在接触处，施加 Dirichlet 边界条件，将准费米能级设置为接触上的电压
  • 对于半导体和绝缘体之间的界面，施加齐次 Neumann 边界条件
  • 在半导体-半导体和半导体-金属界面上，强制准费米能级的连续性

在命令文件中，通过在 Physics 部分设置 IniteQuasiFermi 和 InithQuasiFermi 选项来激活从式54和式55的解初始化准费米能级。您可以独立使用这些选项，也可以按区域或按材料在 Physics 部分中使用。以下示例在区域 n-epi 中激活电子准费米能级的线性传导方程：

tcl
Physics (Region="n-epi") {
    IniteQuasiFermi
}

对于仅在界面一侧区域求解线性传导方程的内部界面，准费米能级的连续性条件基于来自掺杂井的初始猜测（见上文）进行评估。在金属区域中，式54和式55从不求解，而是使用金属电导方程来计算费米能级（见第317页"金属中的输运"）。

因此，线性传导方程默认只在半导体区域求解。但是，通过使用 includingInsulator 选项，可以将线性传导方程的求解扩展到绝缘体区域。例如：

tcl
IniteQuasiFermi(includingInsulator)
InithQuasiFermi(includingInsulator)

在绝缘体区域中，式54和式55中的电导系数 和 近似为 ，其中 是相应绝缘体材料的电阻率值。电阻率值 取自 Resistivity 参数集中的 Resist0 参数（见第317页"金属中的输运"）。

或者，对于式54和式55，仅在假设 的条件下，可以求解总线性电导方程：

要获得 对 或 的方程解，必须分别指定 IniteQuasiFermi(TotalConductance) 或 InithQuasiFermi(TotalConductance)。

如果器件结构中存在浮空掺杂井（FDW，直接电气接触以外的掺杂井），此外，FDW模型基于仅在FDW中的线性电导方程解来保持准费米能级，但其他器件区域的准费米能级由上文"掺杂井中静电势和准费米能级的初始猜测"定义。该模型基于式58，并带有额外的拟合参数来控制FDW表面附近的表面电导。要激活电子（施主）或空穴（受主）FDW的此类解，应在 Physics 中使用 IniteQuasiFermi(FDW) 或 InithQuasiFermi(FDW)。要更改此FDW模型使用的默认表面电导，必须在 Math{ FDW_SurfCondFactor = <value> } 中修改表面电导因子。默认值为1。

NOTE

基于线性电导方程并与仅泊松方程一起求解的FDW模型不能完全替代完整的漂移-扩散解。它给出了静电势的近似解，假设在偏置扫描期间电导率不变。

如果指定了准费米能级的载流子的连续性方程没有被求解，则初始准费米能级会在每个扫描步骤重新计算。在这种情况下，载流子的浓度直接由上式计算（见上文"玻尔兹曼统计下的准费米能级"）。

您可以通过使用关键字 eQuasiFermiPotential、eInitialConductivity/Element、hQuasiFermiPotential 和 eInitialConductivity/Element 来访问存储 、、 和 值的数据集。

电极电荷计算 ​

Sentaurus Device 在每个偏置或时间点之后将电极电荷输出到当前绘图文件（*.plt 文件）。

对于仅接触绝缘体区域的电极，电荷由高斯定律计算，代表实际接触器件表面上的电荷。

对于接触半导体区域的电极，电荷也由高斯定律计算；但用于积分的高斯面包含与该电极关联的掺杂井。在这种情况下，电极电荷代表电极上的电荷加上掺杂井中的空间电荷。

参考文献 ​

[1] W. B. Joyce and R. W. Dixon, "Analytic approximations for the Fermi energy of an ideal Fermi gas." Applied Physics Letters, vol. 31, no. 5, pp. 354–356, 1977.

[2] T. Fukushima, "Precise and fast computation of Fermi-Dirac integral of integer and half integer order by piecewise minimax rational approximation," Applied Mathematics and Computation, vol. 259, pp. 708–729, May 2015.

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