第12章半导体能带结构（Semiconductor Band Structure）

能带隙与电子亲和能（Band Gap and Electron Affinity）

基本概念

能带隙（band gap）是导带（conduction band）最低能量与价带（valence band）最高能量之间的差值。电子亲和能（electron affinity）是导带最低能量与真空能级之间的差值。

选择能带隙模型

Sentaurus Device 支持多种能带隙模型：

模型	关键字	说明
BennettWilson	BennettWilson	默认模型
delAlamo	delAlamo	适用于 n 型材料
JainRoulston	JainRoulston	支持 SiC 材料
OldSlotboom	OldSlotboom	参数不同于 Slotboom
Slotboom	Slotboom	与 OldSlotboom 相同，默认参数不同
TableBGN	TableBGN	用户自定义表格

在 Physics 部分通过 EffectiveIntrinsicDensity 语句指定能带隙模型。例如，激活 Slotboom 模型：

tcl

Physics {
    EffectiveIntrinsicDensity(BandGapNarrowing (Slotboom))
}

NOTE

默认情况下带隙收窄（bandgap narrowing）处于激活状态。使用关键字 NoBandGapNarrowing 可关闭带隙收窄：

tcl

Physics {
    EffectiveIntrinsicDensity(NoBandGapNarrowing)
}

TIP

要绘制包含带隙收窄效应的能带隙，请在命令文件的 Plot 部分指定 EffectiveBandGap。直接指定 BandGap 绘制的量不包括带隙收窄。

能带隙与电子亲和能模型

能带隙温度依赖

Sentaurus Device 将能带隙对晶格温度的依赖建模为 [1]：

其中是 0 K 时的能带隙能量，α 和 β 是材料参数（见表 38）。

为使可因不同模型而异，写作：

其中是所有模型共用的可调参数。对于 TableBGN 和 JainRoulston 模型，。

有效能带隙为：

电子亲和能

对于 BennettWilson、delAlamo、OldSlotboom、Slotboom 和 TableBGN，电子亲和能随温度变化并受带隙收窄影响：

其中 χ0 和 Bgn2Chi 是可调参数。Bgn2Chi 默认为 0.5，因此带隙收窄在导带和价带之间均分。

对于 JainRoulston 模型，亲和能还受掺杂浓度影响：

带隙收窄的通用形式

Sentaurus Device 中的带隙收窄形式为：

其中由具体模型决定，是考虑载流子统计的可选校正项。

Bennett–Wilson 模型的带隙收窄

该模型从重掺杂 n 型材料的吸收和发光数据推导：

参数和可在参数文件的 Bennett 参数集中访问（见表 39）。

Slotboom 模型的带隙收窄

模型基于 n-p-n 晶体管中的测量以及集电极电流的一维模型 [3]-[6]。

del Alamo 模型的带隙收窄

该模型为 n 型材料提出 [7]-[11]：

Jain–Roulston 模型的带隙收窄

形式为 [12]：

其中 A、B、C 和 D 是与材料相关的系数，在参数文件的 JainRoulston 部分定义：

tcl

Material = "Silicon" {
    JainRoulston {
        * n-type
        A_n = 1.02e-8     # [eV cm]
        B_n = 4.15e-7     # [eV cm^(3/4)]
        C_n = 1.45e-12    # [eV cm^(3/2)]
        D_n = 1.48e-12    # [eV cm^(3/2)]
        * p-type
        A_p = 1.11e-8     # [eV cm]
        B_p = 4.79e-7     # [eV cm^(3/4)]
        C_p = 3.23e-12    # [eV cm^(3/2)]
        D_p = 1.81e-12    # [eV cm^(3/2)]
    }
}

SiC 的默认系数针对 4H-SiC 材料。对于 6H-SiC 需在参数文件中定义。

能带隙收窄的表格指定（TableBGN）

使用表格指定带隙收窄，在 TableBGN 参数集中定义：

tcl

TableBGN {
    Total 1e16, 0
    Total 1e20, 0.02
}

对于低于 10¹⁶ cm⁻³ 的总掺杂浓度，带隙收窄为零；在 10²⁰ cm⁻³ 时增加到 20 meV；更高浓度保持此值。插值在对数浓度上分段线性。

NOTE

不能指定摩尔分数相关的带隙收窄表格。

Schenk 带隙收窄模型

BennettWilson、delAlamo、JainRoulston 等模型是掺杂诱导的，不依赖载流子浓度。高载流子浓度（光激发或高电场注入）引起的等离子体诱导带隙收窄由 Schenk 模型 [14] 描述。

Sentaurus Device 支持两个版本：简化版（T = 0 K，不依赖温度）和完整版（考虑温度依赖）。通过参数文件设置 IsSimplified 切换：

tcl

SchenkBGN_elec {
    IsSimplified = 1   # 1=简化版，-1=完整版
}

Schenk 模型通过密度梯度模型框架实现。如需抑制量子化校正，设置密度梯度模型参数 γ = 0。

激活步骤：

在 Physics 部分关闭其他带隙收窄模型，开启量子势方程：

tcl

Physics(Region = "Region1_Si") {
    EffectiveIntrinsicDensity (NoBandGapNarrowing)
    eQuantumPotential(LocalModel=SchenkBGN_elec)
    hQuantumPotential(LocalModel=SchenkBGN_hole)
}

在 Solve 部分求解量子势方程：

tcl

Solve {
    Coupled {Poisson eQuantumPotential hQuantumPotential}
}

在参数文件中关闭密度梯度模型的量子校正：

tcl

QuantumPotentialParameters {gamma = 0, 0}

TIP

通过在 Plot 部分指定 eSchenkBGN 或 hSchenkBGN 可视化带隙收窄。

带不完全电离的带隙收窄

不完全电离影响带隙收窄——载流子浓度被不完全电离的掺杂浓度替代。激活方式：

tcl

Physics(Region = "Region1_Si") {
    EffectiveIntrinsicDensity (BandGapNarrowing(model_name))
    eQuantumPotential(LocalModel=IncompleteBGN_elec)
    hQuantumPotential(LocalModel=IncompleteBGN_hole)
    IncompleteIonization(options)
}

带费米统计的带隙收窄校正

带隙收窄参数通常从假设麦克斯韦-玻尔兹曼（MB）统计的实验数据中提取。在高掺杂区，费米统计与 MB 统计差异显著。

Sentaurus Device 可应用校正减少该误差：

默认：费米统计模拟中开启，MB 统计中关闭
使用 EffectiveIntrinsicDensity(NoFermi) 关闭

WARNING

高掺杂源/漏区可能导致有效能带隙过低（~0 eV），引起收敛问题。若日志中出现警告，建议设置 EgMin 参数。

非三维态密度的能带隙

对于石墨烯纳米带（GNR）和碳纳米管（CNT），CNT 能带隙可使用解析公式：

其中是费米速度，是 CNT 直径。在参数文件中设置：

tcl

Bandgap {
    Tpar = 300
    Formula = 2
    FermiVelocity = 9e7   # [cm/s]
    CNTdiameter = 4        # [nm]
}

NOTE

即使未使用 Formula=2，FermiVelocity 和 CNTdiameter 也应设置（CNT DOS 和 GNR DOS 使用）。

能带隙参数汇总

表 38 能带隙模型默认参数（硅）

符号	参数名	默认值	单位
	Eg0	1.1696	eV
(Bennett)	dEg0(Bennett)	0.0	eV
(Slotboom)	dEg0(Slotboom)	-4.795×10⁻³	eV
(OldSlotboom)	dEg0(OldSlotboom)	-1.595×10⁻²	eV
(delAlamo)	dEg0(delAlamo)	-1.407×10⁻²	eV
α	alpha	4.73×10⁻⁴	eV/K
β	beta	636	K
χ₀	Chi0	4.05	eV
Bgn2Chi	Bgn2Chi	0.5	1
	Tpar	0	K
	EgMin	0	eV

表 39 能带隙收窄模型默认参数（硅）

模型	Ebgn (eV)	Nref (cm⁻³)
Bennett	6.84×10⁻³	3.162×10¹⁸
Slotboom	6.92×10⁻³	1.3×10¹⁷
OldSlotboom	9.0×10⁻³	1.0×10¹⁷
delAlamo	18.7×10⁻³	7.0×10¹⁷

有效质量与有效态密度（Effective Masses and Effective Density-of-States）

电子有效质量与导带态密度

Formula=1（默认，用于硅）：

电子 DOS 有效质量：

温度依赖的有效质量分量：

导带有效 DOS：

Formula=2（用于 GaAs）：

直接从计算：

表 40 电子有效质量模型默认系数

选项	参数	默认值
Formula=1	a	0.1905
	ml	0.9163
Formula=2	Nc300	2.890×10¹⁹ cm⁻³

空穴有效质量与价带态密度

Formula=1（用于硅）：

表 41 空穴有效质量模型默认系数

参数	默认值	单位
a	0.4435870	1
b	0.3609528×10⁻²	K⁻¹
c	0.1173515×10⁻³	K⁻²
d	0.1263218×10⁻⁵	K⁻³
e	0.3025581×10⁻⁸	K⁻⁴

有机半导体的Gaussian态密度（Gaussian Density-of-States for Organic Semiconductors）

有机半导体中电子和空穴的有效态密度用 Gaussian DOS 更好地表示：

（电子）或（空穴）
：DOS 分布的能量中心
：Gaussian 宽度

激活方式：

tcl

Physics(Region="Organic_sem1") {
    GaussianDOS_full
}
Physics {
    Fermi
}

简化版本（麦克斯韦-玻尔兹曼近似）：

tcl

Physics(Region="Organic_sem1") {
    EffectiveMass(GaussianDOS)
}

表 42 Gaussian DOS 模型参数

参数	符号	默认值	单位
跳跃位点数（电子）	Nt (NLUMO)	1×10²¹	cm⁻³
跳跃位点数（空穴）	Nt (NHOMO)	1×10²¹	cm⁻³
Gaussian 宽度	sigmaDOS	0.052	eV
能量中心（电子）	E0n	0.1	eV
能量中心（空穴）	E0p	0.1	eV

能带尾（Band Tails）

随机掺杂起伏和晶体缺陷使半导体态密度在带隙中产生能带尾。这在低温 MOSFET 应用中对亚阈值传输有强烈影响。

Gaussian 和指数能带尾 DOS 作为导带和价带的扩展：

激活方式：

tcl

eBandTailDOS(Gaussian)   # 或 Exponent
hBandTailDOS(Gaussian)

参数设置：

tcl

BandTailDOS {
    Nt = 1e19, 1e19         # [cm-3]
    sigmaDOS = 0.0075, 0.0075  # [eV]
    E0 = 0.0, 0.0           # [eV]
}

TIP

使用 -SimpleBandTailIntegration 在 Math 部分：使用数值积分代替近似
使用 -FermiBandTailStatistics 使用与 Physics 一致的分布函数
使用 GaussianFromOrganic 对 Gaussian 带尾应用有机材料专用近似

多谷能带结构（Multivalley Band Structure）

公式 44 和 45 给出了载流子浓度对准费米能级的单谷依赖关系。应力诱导的硅能带结构变化和低带隙材料的性质要求考虑导带和价带中的多个谷，以正确计算载流子浓度对准费米能级的依赖。

多谷载流子浓度

在抛物带假设和费米-狄拉克分布函数下，多谷电子和空穴浓度表示为：

其中和是电子和空穴谷数，和是谷因子，和是相对于带边的谷能量偏移。

非抛物带结构

引入各向同性非抛物性参数 α，色散关系为：

能带展宽（Bandgap Widening）

与载流子几何限制相关的效应，对超薄层半导体结构很重要。通过假设 DOS 在第一子带能量以下为零来实现：

其中是层厚度，是量子化质量。

Monte Carlo 态密度

为保持连续性输运模型和 Monte Carlo 方法之间的一致性，可以使用 Monte Carlo DOS。

使用多谷能带结构

激活方式：

tcl

Physics { eMultivalley }    # 仅电子
Physics { hMultivalley }    # 仅空穴
Physics { MultiValley }     # 两者

数值 Gauss-Laguerre 积分（用于非抛物性和 MOSFET 沟道量子化）：

tcl

Physics { eMultivalley(DensityIntegral) }
Physics { eMultivalley(Nonparabolicity) }

默认硅定义：3 个 Δ2 电子谷 + 2 个空穴谷（LH 和 HH）。

六带 k·p 模型（空穴）：

tcl

Physics { hMultivalley(kpDOS) }

两带 k·p 模型（电子，3 个 Δ2 谷）：

tcl

Physics { eMultivalley(kpDOS) }

参数文件定义示例：

tcl

MultiValley {
    eValley"Delta1"(1,0,0)(ml=0.914, mt=0.196, energy=0, degeneracy=2,
        alpha=0.5, xiu=9.16, xid=0.77)
    eValley"Delta2"(0,1,0)(ml=0.914, mt=0.196, energy=0, degeneracy=2,
        alpha=0.5, xiu=9.16, xid=0.77)
    eValley"Delta3"(0,0,1)(ml=0.914, mt=0.196, energy=0, degeneracy=2,
        alpha=0.5, xiu=9.16, xid=0.77)
    hValley"LH"(m=0.16, energy=0, degeneracy=1)
    hValley"HH"(m=0.49, energy=0, degeneracy=1)
}

非三维态密度选项

DOS 类型	dosmodel	能量依赖
3D（默认）	3D 或 dospower=0.5
2D	2D 或 dospower=0
1D	1D 或 dospower=-0.5
石墨烯纳米带	GNR	线性
碳纳米管	CNT	分段函数

tcl

eValley"Delta1"(1,0,0)(ml=0.914 mt=0.196 energy=0 alpha=0.5 degeneracy=2
    xiu=9.16 xid=0.77 dosmodel=2D)

谷间跃迁（Intervalley Transitions）

谷间跃迁率方程

显式谷间相互作用通过谷间跃迁率模型和求解谷间跃迁率方程来描述。电子谷 i 的跃迁率方程：

确保：总谷密度等于连续性方程的解；无相互作用时恢复各谷平衡密度。

Müller 模型

描述 III-V 半导体（如 GaAs、InP）中 Γ 谷和 L 谷之间的跃迁：

参数定义：

tcl

TRM_Mueller "ParamSetNameT1" {
    af_ivt   = 0.36e12     // [Hz]
    E0_ivt   = 3.0e3       // [V/cm]
    N0_ivt   = 78.6e16     // [cm-3]
    zeta_ivt = 0.46        // [1]
    f0_ivt   = 1.7e12      // [Hz]
    deltaF_ivt = 5.79e6    // [Hz/(V/cm)]
}

激活谷间跃迁率方程求解：

tcl

Solve {
    Coupled {Poisson Electron eMVTransitionRate}
}

示例（GaAs，Γ 谷和 L 谷）：

tcl

Physics {
    eMultiValley
    eTransitionRate(
        Transition "1" (
            Model = "MuellerGammaL"
            ParameterSetName = "MuellerParams"
            FromToValleyPairs = ("Gamma", "L")
            DrivingForce = "ElectricField"
        )
        Transition "2" (
            Model = "MuellerLGamma"
            ParameterSetName = "MuellerParams"
            FromToValleyPairs = ("L", "Gamma")
            DrivingForce = "ElectricField"
        )
    )
}

Plot {
    eDensity_Gamma
    eDensity_L
}

参考文献

[1] W. Bludau, A. Onton, and W. Heinke, "Temperature dependence of the band gap in silicon," J. Appl. Phys., vol. 45, no. 4, pp. 1846–1848, 1974.

[2] H. S. Bennett and C. L. Wilson, "Statistical comparisons of data on band-gap narrowing in heavily doped silicon," J. Appl. Phys., vol. 55, no. 10, pp. 3582–3587, 1984.

[3] J. W. Slotboom and H. C. de Graaff, "Measurements of Bandgap Narrowing in Si Bipolar Transistors," Solid-State Electronics, vol. 19, no. 10, pp. 857–862, 1976.

[4] D. B. M. Klaassen, J. W. Slotboom, and H. C. de Graaff, "Unified Apparent Bandgap Narrowing in n- and p-Type Silicon," Solid-State Electronics, vol. 35, no. 2, pp. 125–129, 1992.

[5] J. del Alamo et al., "Simultaneous Measurement of Hole Lifetime, Hole Mobility and Bandgap Narrowing in Heavily Doped n-Type Silicon," IEDM, 1985.

[6] S. E. Swirhun et al., "Measurement of Electron Lifetime, Electron Mobility and Band-Gap Narrowing in Heavily Doped p-Type Silicon," IEDM, 1986.

[7] J. A. del Alamo and R. M. Swanson, "Measurement of Steady-State Minority-Carrier Transport Parameters in Heavily Doped n-Type Silicon," IEEE Trans. Electron Devices, vol. ED-34, no. 7, pp. 1580–1589, 1987.

[8] S. C. Jain and D. J. Roulston, "A Simple Expression for Band Gap Narrowing (BGN) in Heavily Doped Si, Ge, GaAs and GexSi1-x Strained Layers," Solid-State Electronics, vol. 34, no. 5, pp. 453–465, 1991.

[9] U. Lindefelt, "Doping-induced band edge displacements and band gap narrowing in 3C–, 4H–, 6H–SiC, and Si," J. Appl. Phys., vol. 84, no. 5, pp. 2628–2637, 1998.

[10] A. Schenk, "Finite-temperature full random-phase approximation model of band gap narrowing for silicon device simulation," J. Appl. Phys., vol. 84, no. 7, pp. 3684–3695, 1998.

[11] M. A. Green, "Intrinsic concentration, effective densities of states, and effective mass in silicon," J. Appl. Phys., vol. 67, no. 6, pp. 2944–2954, 1990.

[12] J. E. Lang et al., "Temperature dependent density of states effective mass in nonparabolic p-type silicon," J. Appl. Phys., vol. 54, no. 6, p. 3612, 1983.

[13] G. Paasch and S. Scheinert, "Charge carrier density of organics with Gaussian density of states," J. Appl. Phys., vol. 107, no. 10, p. 104501, 2010.

[14] E. O. Kane, "Thomas-Fermi Approach to Impure Semiconductor Band Structure," Physical Review, vol. 131, no. 1, pp. 79–88, 1963.

[15] M. Müller, P. Dollfus, and M. Schröter, "1-D Drift-Diffusion Simulation of Two-Valley Semiconductors and Devices," IEEE Trans. Electron Devices, vol. 68, no. 3, pp. 1221–1227, 2021.

第12章 半导体能带结构（Semiconductor Band Structure） ​

能带隙与电子亲和能（Band Gap and Electron Affinity） ​

基本概念 ​

选择能带隙模型 ​

能带隙与电子亲和能模型 ​

能带隙温度依赖 ​

电子亲和能 ​

带隙收窄的通用形式 ​

Bennett–Wilson 模型的带隙收窄 ​

Slotboom 模型的带隙收窄 ​

del Alamo 模型的带隙收窄 ​

Jain–Roulston 模型的带隙收窄 ​

能带隙收窄的表格指定（TableBGN） ​

Schenk 带隙收窄模型 ​

带不完全电离的带隙收窄 ​

带费米统计的带隙收窄校正 ​

非三维态密度的能带隙 ​

能带隙参数汇总 ​

有效质量与有效态密度（Effective Masses and Effective Density-of-States） ​

电子有效质量与导带态密度 ​

空穴有效质量与价带态密度 ​

有机半导体的Gaussian态密度（Gaussian Density-of-States for Organic Semiconductors） ​

能带尾（Band Tails） ​

多谷能带结构（Multivalley Band Structure） ​

多谷载流子浓度 ​

非抛物带结构 ​

能带展宽（Bandgap Widening） ​

Monte Carlo 态密度 ​

使用多谷能带结构 ​

非三维态密度选项 ​

谷间跃迁（Intervalley Transitions） ​

谷间跃迁率方程 ​

Müller 模型 ​

参考文献 ​

第12章半导体能带结构（Semiconductor Band Structure）

能带隙与电子亲和能（Band Gap and Electron Affinity）

基本概念

选择能带隙模型

能带隙与电子亲和能模型

能带隙温度依赖

电子亲和能

带隙收窄的通用形式

Bennett–Wilson 模型的带隙收窄

Slotboom 模型的带隙收窄

del Alamo 模型的带隙收窄

Jain–Roulston 模型的带隙收窄

能带隙收窄的表格指定（TableBGN）

Schenk 带隙收窄模型

带不完全电离的带隙收窄

带费米统计的带隙收窄校正

非三维态密度的能带隙

能带隙参数汇总

有效质量与有效态密度（Effective Masses and Effective Density-of-States）

电子有效质量与导带态密度

空穴有效质量与价带态密度

有机半导体的Gaussian态密度（Gaussian Density-of-States for Organic Semiconductors）

能带尾（Band Tails）

多谷能带结构（Multivalley Band Structure）

多谷载流子浓度

非抛物带结构

能带展宽（Bandgap Widening）

Monte Carlo 态密度

使用多谷能带结构

非三维态密度选项

谷间跃迁（Intervalley Transitions）

谷间跃迁率方程

Müller 模型

参考文献