第8章：半导体中的载流子输运方程

来源: Sentaurus Device User Guide W-2024.09 PDF 第247-266页

载流子输运模型简介

Sentaurus Device 支持多种用于半导体的载流子输运模型。它们都可以写成连续性方程的形式，描述电荷守恒：

其中：

• 和 分别为电子和空穴的净复合率
• 和 分别为电子和空穴的净产生率
• 和 分别为电子和空穴电流密度
• 和 分别为电子和空穴浓度

不同输运模型的区别在于计算 和 的表达式。这些表达式是本章的主题。用于计算温度的附加方程通常也被视为输运模型的一部分，但将在第9章（第266页）讨论。 和 的模型分别在第16章（第500页）、第17章（第572页）和第24章（第855页）讨论。式(59)的边界条件在第10章（第280页）讨论。

根据所研究的器件和所需的建模精度，您可以选择不同的输运模型：

• 漂移-扩散：等温模拟，适用于低功率密度、具有长有源区域的器件（见"漂移-扩散模型"）
• 热力学模型：考虑自热效应。适用于热交换较弱的器件，特别是具有长有源区域的高功率密度器件（见第261页"电流密度的热力学模型"）
• 流体力学模型：考虑载流子能量输运。适用于具有小有源区域的器件（见第262页"电流密度的流体力学模型"）
• 蒙特卡罗：求解完整能带结构的玻尔兹曼方程

蒙特卡罗方法的数值方法（及其可用的物理模型）与其他输运模型有显著不同。因此，蒙特卡罗方法单独描述（见 Sentaurus™ Device Monte Carlo User Guide）。

对于所有其他输运模型，通过 Solve 部分中的 Electron 和 Hole 关键字来请求求解式(59)。当在 Solve 语句中没有求解某种载流子浓度的方程时，除非 Math 部分中存在 RecomputeQFP 关键字且另一种载流子浓度的方程正在求解，否则该种载流子类型的准费米能级保持不变。

浓度 和 的解分别存储在 eDensity 和 hDensity 数据集中。电流密度 和 分别存储在向量数据集 eCurrentDensity 和 hCurrentDensity 中，它们的和存储在 ConductionCurrentDensity 中，总电流密度（包括位移电流）存储在 TotalCurrentDensity 中。关于总电流密度的替代表示，见第264页"电流势"。

NOTE

玻尔兹曼统计是 Sentaurus Device 输运模型的默认设置，您也可以选择使用费米-狄拉克统计（见第252页"费米统计"）。

漂移-扩散模型

漂移-扩散模型是 Sentaurus Device 中默认的载流子输运模型。对于漂移-扩散模型，电子和空穴的电流密度为：

第一项考虑了静电势、电子亲和势和带隙空间变化的贡献。剩余项考虑了浓度梯度、有效质量 和 空间变化的贡献。对于费米统计， 和 由式(48)和式(49)给出。对于玻尔兹曼统计，。最后一项（温度梯度部分）确保温度差异不会导致电压差异或电流，因为漂移-扩散模型不考虑热电效应。

默认情况下，扩散系数 和 通过爱因斯坦关系由迁移率给出： 和 。但是，您可以独立计算它们（见第480页"非爱因斯坦扩散系数"）。

当爱因斯坦关系成立时，电流方程可以简化为：

其中 和 分别为电子和空穴的准费米势（见第251页"玻尔兹曼统计下的准费米能级"）。

您可以将漂移-扩散模型与晶格温度方程一起使用，但这不是强制的。不可能对某种载流子类型使用漂移-扩散模型同时求解同一载流子类型的载流子温度；这需要流体力学模型（见第262页"电流密度的流体力学模型"）。

电流密度的热力学模型

在热力学模型[1]中，上式被推广，将温度梯度作为一个驱动项：

其中 和 为绝对热电功率[2]（见第1071页"热电功率"）， 为晶格温度。

当晶格温度方程被求解时（见第270页"晶格温度的热力学模型"），该模型与漂移-扩散模型有所不同。但是，即使使用漂移-扩散模型，也可以求解晶格温度方程。

热力学模型是默认使用的。但是，可以选择在全局 Physics 部分中仍然指定 Thermodynamic 关键字。此外，可以通过在全局 Physics 部分中指定 -Thermodynamic 来禁用热力学模型，从而启用漂移-扩散模型。

电流密度的流体力学模型

在流体力学模型中，电流密度定义为：

第一项考虑了静电势、电子亲和势和带隙空间变化的贡献。式(66)和式(67)中剩余项考虑了浓度梯度、载流子温度梯度和有效质量 和 空间变化的贡献。

对于费米统计，、 由式(48)和式(49)给出，、 由下式给出（、 由式(50)和式(51)给出）：

对于玻尔兹曼统计，。

热扩散常数在 ThermalDiffusion 参数集中提供。它们默认为零，对应于 Stratton 模型[3][4]。

式(66)和式(67)假设爱因斯坦关系 （ 为扩散系数）成立，这仅在平衡附近才成立。因此，Sentaurus Device 提供了用 替换式(66)和式(67)中载流子温度的选项， 是载流子温度（ 或 ）和晶格温度的加权平均。这在载流子扩散重要的器件中可能有用。电子和空穴的系数 可以在 ThermalDiffusion 参数集中指定。默认为1。

要激活流体力学模型，必须在全局 Physics 部分指定 Hydrodynamic 关键字。如果只求解一种载流子温度，则必须使用选项指定 Hydrodynamic，即 Hydrodynamic(eTemperature) 或 Hydrodynamic(hTemperature)。

电流密度的数值参数

偶尔，如果漂移-扩散模型或热力学模型与晶格温度方程一起求解，式(62)和式(63)或式(64)和式(65)中的热扩散部分可能导致小密度时的收敛问题。因此，您可以选择引入一个小的参考密度来稳定模拟，如第478页"准费米能级驱动力的插值"中所述。这意味着您将得到：

其中 和 的值可以在 Math 部分中指定：

RefDens_eTEP=<float>
RefDens_hTEP=<float>

此外，参考密度被应用于式(1158)、式(1159)、式(1160)和式(1161)中热电功率解析公式中的相应项。

连续性方程的数值参数

载流子浓度永远不能为负。如果在牛顿迭代过程中浓度错误地变为负值，Sentaurus Device 将施加阻尼程序使其为正。牛顿迭代最终产生的浓度被限制为可以在全局 Math 部分中以 cm⁻³ 为单位指定的值（DensLowLimit=<float>，默认值：10⁻¹⁰⁰ cm⁻³）。

NOTE

对于非常低的器件温度（低于50 K），载流子浓度可能极小。要支持使用这种温度的模拟，请在全局 Math 部分指定 ExtendedPrecision（见第244页"扩展精度"）和 DensLowLimitPower=<int>（默认值：-100）。最低载流子浓度限制将设置为 DensLowLimit=<float> 和 10^{DensLowLimitPower} cm⁻³ 中的最小值。

接触电流计算的数值方法

默认情况下，Sentaurus Device 将接触电流计算为与该接触关联的掺杂井表面上的电流密度积分加上掺杂井体积上的电荷产生率积分。以下替代的、互斥的方法可以在全局 Math 部分中选择：

• CurrentWeighting 激活域积分法，使用解相关的权重函数来最小化数值误差（详见[5]）
• DirectCurrent 激活将电流计算为接触面积上电流密度的表面积分

NOTE

在混合模式模拟中流入电路节点的电流始终使用 DirectCurrent 方法计算，无论 Math 部分中的规范如何。

电流势

总电流密度：

满足守恒定律 。

因此， 可以写成矢量势 的旋度：

在2D模拟中， 仅在 z 轴方向有非零分量，简写为 。

总电流密度为：

函数 具有以下重要性质：

• 的等值线是 的流线
• 任意两点的 值之差等于连接这两点的任意直线上流动的总电流

Sentaurus Device 按照 Palm 和 Van de Wiele[6] 提出的方法计算2D电流势。

要可视化结果，请在 Plot 部分添加 CurrentPotential 关键字：

Plot { CurrentPotential }

图18显示了一个简单方形器件的总电流密度和电流势的图。

参考文献

[1] G. Wachutka, "An Extended Thermodynamic Model for the Simultaneous Simulation of the Thermal and Electrical Behaviour of Semiconductor Devices," in Proceedings of the Sixth International Conference on the Numerical Analysis of Semiconductor Devices and Integrated Circuits (NASECODE VI), Dublin, Ireland, pp. 409–414, July 1989.

[2] H. B. Callen, Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics, New York: John Wiley & Sons, 2nd ed., 1985.

[3] R. Stratton, "Diffusion of Hot and Cold Electrons in Semiconductor Barriers," Physical Review, vol. 126, no. 6, pp. 2002–2014, 1962.

[4] Y. Apanovich et al., "Numerical Simulation of Submicrometer Devices Including Coupled Nonlocal Transport and Nonisothermal Effects," IEEE Transactions on Electron Devices, vol. 42, no. 5, pp. 890–898, 1995.

[5] P. D. Yoder et al., "Optimized Terminal Current Calculation for Monte Carlo Device Simulation," IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, vol. 16, no. 10, pp. 1082–1087, 1997.

[6] E. Palm and F. Van de Wiele, "Current Lines and Accurate Contact Current Evaluation in 2-D Numerical Simulation of Semiconductor Devices," IEEE Transactions on Electron Devices, vol. ED-32, no. 10, pp. 2052–2059, 1985.