Chapter 38: Numeric Methods

本章介绍 Sentaurus Device 使用的一些数值方法。

Discretization

Sentaurus Device 采用著名的 box 离散化方法 [1][2][3] 对偏微分方程（PDE）进行离散化。该方法将 PDE 在如图 86 所示的测试体积上积分，应用高斯定理并将结果项离散化为一阶近似。

图片：/sentaurus-ref/public/images/sdevice/ch38_fig86.png

通常，box 离散化将如下形式的每个 PDE 离散化：

为：

其中值见表 191。

表 191：Box 方法参数：系数和控制体积

维度
1D		Box 长度
2D		Box 面积
3D		Box 体积

此时，物理参数和具有表 192 中列出的值，其中是 Bernoulli 函数。

表 192：方程

方程
Poisson
电子连续性
空穴连续性
温度

Sentaurus Device 的一个特殊功能是，非线性方程的实际组装是逐元素执行的，即：

此表达式与方程等价，但具有可逐元素处理某些参数（如 , , ）的优点，这对数值稳定性和物理精确性很有用。在 2D 情况下，box 方法系数具有简单的可视化值：（见图 86）。在 3D 情况下，这些值并不简单。

Sentaurus Device 实现了不同的 box 离散化方案：AverageBoxMethod、NaturalBoxMethod 和 RobustBoxMethod，可从命令文件的全局 Math 部分激活。默认方案是 AverageBoxMethod。各种方案在 box 方法系数和度量的元素分布上有所不同。

使用 RobustBoxMethod 离散化可保证与 Sentaurus Mesh 在非 Delaunay 元素统计方面的一致性。Delaunay-Voronoï 权重默认激活。此方法也完全支持扩展精度计算（参见扩展精度）。

Extended Precision

尽管网格顶点的坐标以"双精度"精度存储，但 Sentaurus Device 可以使用"长双精度"扩展精度计算 box 方法系数和控制体积。这对于包含细长元素的网格中 box 方法参数的精确计算尤为重要。

过程如下：

读取网格顶点的"双精度"坐标。
将这些坐标转换为"长双精度"扩展精度。
使用"长双精度"扩展精度计算 box 方法参数。
将系数和控制体积转换回"双精度"。

可通过在命令文件的全局 Math 部分指定 BM_ExtendedPrecision 来开启 box 方法参数的扩展精度计算。

当使用 RobustBoxMethod 时，扩展精度 box 方法计算的影响尤其显著。

注意：

如果全局 Math 部分包含 BoxCoefficientsFromFile、BoxMeasureFromFile 或 NaturalBoxMethod，则扩展精度 box 方法计算会关闭。

Box Method Coefficients in the 3D Case

本节描述 3D 情况下 box 方法的系数。

Basic Definitions

Delaunay 网格

如果每个元素的外接球（二维为外接圆）的内部不包含网格顶点，则网格是 Delaunay 网格。

Obtuse 元素

如果外接球（或外接圆）的中心位于元素外部，则该元素称为钝元素。

Obtuse face

设是包含元素面的平面。每个平面将 3D 空间分割为两个半空间和。如果元素的外接球中心和元素本身位于不同的半空间和中，则面称为钝面。

注意：

在 2D 情况下，钝三角形只有一个钝边。在 3D 情况下：

钝棱柱只有一个钝面。
钝四面体有一个或两个钝面。
钝金字塔有一个、两个或三个钝面。

Non-Delaunay 元素

如果钝元素的外接球（或外接圆）内部包含另一个网格顶点，则该钝元素称为非 Delaunay 元素。

Voronoï 元素中心和 Voronoï 面中心

设为网格元素。围绕元素的外接球（二维为外接圆）称为 Voronoï 元素中心。设为元素的面。围绕面的外接圆称为 Voronoï 面中心。

Voronoï box 和 Voronoï box 的面

设为网格的顶点，为连接到顶点的边集。设为边的垂直平分面。平面将 3D 空间分割为两个半空间。设为包含顶点的半空间。所有半空间的交集称为顶点的 Voronoï box 。因此，Voronoï box 是凸多面体，的任何面都是位于垂直平分面中的凸多边形。这个面称为 Voronoï box 的面。

图片：/sentaurus-ref/public/images/sdevice/ch38_fig87.png

图片：/sentaurus-ref/public/images/sdevice/ch38_fig88.png

图片：/sentaurus-ref/public/images/sdevice/ch38_fig89.png

Element Intersection Box Method Algorithm

Sentaurus Device 使用元素相交 box 方法算法。设为交集的面积。

非钝元素：
钝元素：
非 Delaunay 元素：

计算 box 方法系数的选项有：

AverageBoxMethod 或 RobustBoxMethod(AverageVolumeAndSurface)
NaturalBoxMethod
RobustBoxMethod(ClipVolumeAndSurface) 此方法计算 Voronoï box 组件和网格元素之间的精确交集。

Truncated Obtuse Elements

如果网格没有钝元素，则元素体积守恒成立。对于非 Delaunay 网格，总体积守恒不成立。

对于某些操作（如光学电子或 Sentaurus Process 中的扩散），元素体积守恒非常重要。对于这些操作，Sentaurus Device 具有特殊选项 MixAverageBoxMethod。

Weighted Box Method Coefficients

任何空间离散化的主要目标是生成 Delaunay 网格。在这种情况下，box 方法系数为正，有限体积格式是单调的。对于非 Delaunay 网格，AverageBoxMethod 系数为正，但 PDE 逼近阶小于一。

Sentaurus Mesh 可以使用特殊技术——Delaunay-Voronoï 权重——使得加权 Voronoï 图对于非 Delaunay 网格没有重叠控制体积。因此，有限体积格式是单调的，PDE 逼近阶等于一。

Weighted Points

加权点被解释为以为中心、半径为的球（二维为圆）。加权距离定义为：

Weighted Voronoï Diagram

Voronoï 图的加权推广是通过用加权顶点替换顶点、用外接球（外接圆）替换外接球（外接圆）得到的。

如果指定 Math 部分中的关键字 WeightedVoronoiBox，Sentaurus Device 从 TDR 文件读取相应的数组并计算加权系数和度量。

Saving and Restoring Box Method Coefficients

通常，离散化所需的系数在 Sentaurus Device 内部计算。对于实验目的，可以首选使用外部提供的数据。

如果在 Math 部分指定了关键字 BoxMeasureFromFile 或 BoxCoefficientsFromFile，且仿真目录中存在文件 MeasureCoefficientsDebug，Sentaurus Device 从该文件读取相应的数组。

Statistics About Non-Delaunay Elements

日志文件包含有关区域非 Delaunay 元素和界面非 Delaunay 元素的信息。

区域非 Delaunay 元素

日志文件包含有关网格的公共数据和每个区域的非 Delaunay 元素信息：

/-------- Region non-Delaunay elements --------------------------------Region Volume BoxMethodVolume DeltaVolume Elements non-Delaunay
non-DelaunayVolume
name
[um2]
[um2]
[%] Elements
[um2]
[%]
---------------------------------------------------------------------Nitride 1.9500000e-04 2.2635574e-04 16.080 53
12 (22.64 %) 1.8215e-04
...

如果 DeltaVolume 超过用户定义的限制（默认：10⁻⁴），则 Sentaurus Device 打印警告消息。

界面非 Delaunay 元素

界面元素是具有位于界面上的面（或二维中的边）的元素。

Arbitrary Box Method

本节描述可应用于任意网格的 box 方法格式。

经典 box 方案对可用于器件仿真的网格施加了严格限制。当使用 boxmethod 类型的网格时，会满足所需的网格条件。但这可能导致结果网格的额外细化。

另一方面，使用其他类型的网格可能会给出错误的仿真结果。本节介绍称为 ArbitraryBoxMethod (ARBM) 的 box 方法方法的推广，它可以应用于任意网格类型。

使用 ArbitraryBoxMethod 时，可以通过调整控制体积来放宽繁琐的网格要求。这导致即使对于非 Delaunay 网格也不会重叠。各种调整算法可用，可使用 ArbitraryBoxes 部分中的 CenterMode 关键字选择。

CenterMode 选项：

allVoronoi：元素和面 Voronoï 中心用作 box 顶点。不执行调整。
pinVoronoi：对于钝三角形，Voronoi 面中心被移至最近边的中点。
pinNonDelaunay：这是 pinVoronoi 方案的特例。仅调整同时为非 Delaunay 的钝元素中的中心。

使用 ARBM 时，修改元素中的控制表面可能不垂直于网格边。因此，标准 Scharfetter-Gummel 方法不能可靠地应用。ARBM 离散化格式在通量评估中包含了一个校正，考虑了控制表面法线的不同方向。

激活 ARBM：

javascript

Math {
    ArbitraryBoxMethod
    ARBM_RefPot = 0.0258
    ArbitraryBoxes(
        CenterMode= "pinVoronoi"
        WithNonlinearElimination
    )
}

限制： 以下物理模型尚不支持 ARBM 功能：

各向异性属性
密度梯度模型
电流密度的流体动力学模型
异质结器件仿真
压阻迁移率模型
压电极化
周期边界条件
不连续界面
柱坐标系
动态非局部路径带间隧穿模型
界面、接触和结处的非局部隧穿
铁电材料

AC Simulation

AC 仿真是基于小信号 AC 分析。计算器件对叠加在既定 DC 偏压上的"小"正弦信号的响应，作为频率和 DC 工作点的函数。

AC Response

AC 响应由三个基本半导体方程和最多三个额外的能量守恒方程获得。AC 系统方程可以符号表示为：

AC 系统实际上通过求解复数线性系统来计算。

AC Current Density Responses

当 AC 系统求解时，AC 电流密度响应使用以下公式计算：

Harmonic Balance Analysis

谐波平衡（HB）分析是一种频域方法，用于求解周期和准周期时变问题的稳态解 [8][9]。它是 RF 电路设计应用的流行方法。

Harmonic Balance Equation

动态混合模式仿真问题的一般形式为：

其中和是非线性函数，表示显式时变器件。

设是一组不同的频率，则源和解近似为截断的傅里叶级数。

HB 方程为：

Multitone Harmonic Balance Analysis

多音 HB 分析利用多维傅里叶变换（MDFT）。

Solving the Harmonic Balance Equation

HB 方程是非线性方程，通过 Newton 算法求解。每次 Newton 迭代中，必须求解以下线性方程：

求解 HB Newton 步方程

存储 HB Jacobian 矩阵的内存需求通常变得非常大，因为其大小相对于相应的 DC 或瞬态矩阵增加了倍。

对于非常少的谐波数和中等大小的仿真网格，使用直接线性求解器可能是可行的。但是，建议对大多数应用使用 GMRES(m) 迭代方法。

Restarted GMRES Method

HB 模块利用预条件重启的广义最小残差 GMRES(m) 方法 [10]。

Direct Solver Method

对于直接求解器，复数值线性系统被转换为实值问题，然后由直接求解器 PARDISO 求解。

Transient Simulation

半导体器件模型和电路分析中使用的瞬态方程可以形式化为常微分方程组：

Sentaurus Device 使用隐式离散化瞬态方程，支持两种离散化方案：简单 backward Euler 和复合梯形规则/向后差分公式（TRBDF），后者是默认值。

Backward Euler Method

Backward Euler 是一种非常稳定的方法，但只有一阶时间近似。

离散化可以写为：

TRBDF Composite Method

瞬态格式 [12] 从每个时间点开始，先走到（中间步），然后再到。

对于梯形规则（TR）步：

对于 BDF2 步：

Controlling Transient Simulations

默认情况下，Sentaurus Device 使用 TRBDF 方法。要切换到 backward Euler (BE)，可以指定 Transient=BE。

要激活 LTE 评估和时间步长控制，必须指定 CheckTransientError。

Floating Gates

在瞬态时间步期间，浮栅的电荷作为注入电流的函数更新：

Nonlinear Solvers

Fully Coupled Solution

对于非线性系统的求解，应用了 Bank 和 Rose [13] 开发的方案。该方案尝试通过 Newton 方法求解非线性系统：

其中的选择使得，但尽可能接近 1。

Newton 迭代的收敛条件为：

其中是方程在第次 Newton 迭代后节点处的解。

'Plugin' Iterations

这是传统方案，在其他大多数器件仿真器中也称为 Gummel 迭代。

References

[1] R. E. Bank, D. J. Rose, and W. Fichtner, "Numerical Methods for Semiconductor Device Simulation," IEEE Transactions on Electron Devices, vol. ED-30, no. 9, pp. 1031–1041, 1983.

[2] R. S. Varga, Matrix Iterative Analysis, Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1962.

[3] E. M. Buturla et al., "Finite-Element Analysis of Semiconductor Devices: The FIELDAY Program," IBM Journal of Research and Development, vol. 25, no. 4, pp. 218–231, 1981.

[4] H. Edelsbrunner, "Triangulations and meshes in computational geometry," Acta Numerica, vol. 9, pp. 133–213, March 2000.

[5] S.-W. Cheng et al., "Sliver Exudation," Journal of the ACM, vol. 47, no. 5, pp. 883–904, 2000.

[6] H. Edelsbrunner and D. Guoy, "An Experimental Study of Sliver Exudation," in Proceedings of the 10th International Meshing Roundtable, Newport Beach, CA, USA, pp. 307–316, October 2001.

[7] S. E. Laux, "Application of Sinusoidal Steady-State Analysis to Numerical Device Simulation," in New Problems and New Solutions for Device and Process Modelling: An International Short Course held in association with the NASECODE IV Conference, Dublin, Ireland, pp. 60–71, 1985.

[8] B. Troyanovsky, Z. Yu, and R. W. Dutton, "Physics-based simulation of nonlinear distortion in semiconductor devices using the harmonic balance method," Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 181, no. 4, pp. 467–482, 2000.

[9] P. J. C. Rodrigues, Computer-Aided Analysis of Nonlinear Microwave Circuits, Boston: Artech House, 1998.

[10] Y. Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, Philadelphia: SIAM, 2nd ed., 2003.

[11] P. Feldmann, B. Melville, and D. Long, "Efficient Frequency Domain Analysis of Large Nonlinear Analog Circuits," in Proceedings of the IEEE Custom Integrated Circuits Conference, San Diego, CA, USA, pp. 461–464, May 1996.

[12] R. E. Bank et al., "Transient Simulation of Silicon Devices and Circuits," IEEE Transactions on Computer-Aided Design, vol. CAD-4, no. 4, pp. 436–451, 1985.

[13] R. E. Bank and D. J. Rose, "Global Approximate Newton Methods," Numerische Mathematik, vol. 37, no. 2, pp. 279–295, 1981.

Chapter 38: Numeric Methods ​

Discretization ​

Extended Precision ​

Box Method Coefficients in the 3D Case ​

Basic Definitions ​

Element Intersection Box Method Algorithm ​

Truncated Obtuse Elements ​

Weighted Box Method Coefficients ​

Weighted Points ​

Weighted Voronoï Diagram ​

Saving and Restoring Box Method Coefficients ​

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Arbitrary Box Method ​

AC Simulation ​

AC Response ​

AC Current Density Responses ​

Harmonic Balance Analysis ​

Harmonic Balance Equation ​

Multitone Harmonic Balance Analysis ​

Solving the Harmonic Balance Equation ​

求解 HB Newton 步方程 ​

Transient Simulation ​

Backward Euler Method ​

TRBDF Composite Method ​

Controlling Transient Simulations ​

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Nonlinear Solvers ​

Fully Coupled Solution ​

References ​