第14章 量子化效应（Quantization）

概述

当器件特征尺寸缩小到纳米量级时，载流子在界面附近的量子化效应变得显著。Sentaurus Device 提供多种量子化模型：

模型	说明	适用场景
1D 薛定谔方程	精确求解一维量子化	MOSFET 沟道
外部 2D 薛定谔求解器	连接外部 2D 求解器	3D 结构
密度梯度模型	唯像模型，计算效率高	通用
MLDA 模型	修改的局域密度近似	薄层结构

量子化载流子浓度

量子化校正通过修正载流子密度实现。对于电子，量子化校正后的密度为：

其中：

• ：谷 的量子化能量偏移
• ：谷简并度
• ：垂直于量子化方向的 DOS 有效质量

1D 薛定谔方程（1D Schrödinger Equation）

量子化质量

对于导带谷 ，量子化质量为：

其中 是单位法向量分量（沿量子化方向）， 是谷 的有效质量分量。

对于空穴，可使用"扭曲"带结构（formula 1）或轻重空穴质量（formula 2）。

1D 薛定谔方程

忽略 x 和 y 坐标，电子的 1D 薛定谔方程为：

其中：

• ：量子化方向（通常垂直于 Si-SiO₂ 界面）
• ：谷标识
• ：谷的能量偏移
• ：量子化方向的有效质量分量
• ：第 个归一化本征函数
• ：第 个本征能量

密度计算

从方程解计算密度：

边界条件

在 nonlocal 线的端点，应用边界条件：

NOTE

收敛问题：在平带条件附近，能带结构的微小变化可能导致束缚态数量从零变为 1。建议设置 EnergyInterval 为非零值（例如 1）以计算一些非束缚态，避免密度的剧烈变化。

求解区域：始终在"势垒"区域的一部分求解 1D 薛定谔方程。在 MOSFET 中，除了沟道区域外，还在相邻氧化物的 1 nm 深度内求解。使用 Permeation 选项到 NonLocal 实现。

可视化

在 NonLocalPlot 部分指定：

关键字	说明
WaveFunction	波函数（单位 µm⁻¹/²）
EigenEnergy	本征能量（单位 eV）
OverlapIntegral	波函数对之间的重叠积分

NonLocalPlot( (0 0) ) {
    WaveFunction(Electron(Number=3) Hole)
    EigenEnergy(Electron Hole)
}

外部 2D 薛定谔求解器（External 2D Schrödinger Solver）

对于 3D 结构，Sentaurus Device 可连接外部 2D 薛定谔求解器计算量子力学密度校正。

激活方式

在全局 Physics 部分定义：

ExternalSchroedinger <string> (
    NumberOfSlices=<int>     # 必需，至少 2
    Carriers = <carrierlist>  # Electron | Hole | (Electron Hole)
    Volume=<string>           # 可选
    DampingLength=<float>     # 默认 0.005 µm
    MaxMismatch=<float>       # 默认 1e-4 µm
)

切片放置

• 切片数量由 NumberOfSlices 指定
• 切片必须对应 3D 网格的截面
• 对于均匀沟道截面，沟道两端附近的 1 个切片通常足够

TIP

对于典型 MOSFET 应用，外部 2D 薛定谔求解器主要用于沟道区的量子化。源/漏区可使用密度梯度或 MLDA 等更简单的量子化校正模型。

与内部模型的组合

可通过 DampingLength 参数平滑过渡：

其中 在 2D 薛定谔区域内为 1，在距离该区域 DampingLength 外为 0。

外部玻尔兹曼求解器（External Boltzmann Solver）

对于 3D 结构，Sentaurus Device 可连接 Sentaurus Device QTX 的 Subband-BTE 求解器，获得量子校正势和有效迁移率。

激活方式

ExternalBoltzmannSolver <string> (
    NumberOfSlices=<int>
    Carriers = ( Electron | Hole )
    Mobility ( Electron | Hole )  # 可选：提取有效迁移率
    ContactName=<string>          # 可选
)

有效迁移率

指定 Mobility(<carrier>) 时，Subband-BTE 求解器提取的有效迁移率被传递给 Sentaurus Device 并应用到切片封闭的 3D 区域。该区域内命令文件中指定的任何其他迁移率模型被抑制。

可与以下模型组合：

• 载流子-载流子散射
• 界面迁移率退化
• 薄层迁移率
• 高场饱和
• 弹道迁移率

NOTE

Sentaurus Device 中的恒定和掺杂相关迁移率退化模型不能与 Subband-BTE 求解器提供的有效迁移率组合。

密度梯度模型（Density Gradient Model）

密度梯度模型通过偏微分方程给出量子势 ：

其中 是拟合因子。

广义形式

引入热能的倒数 和势型量 ：

边界条件

边界类型	条件
欧姆接触 / 金属界面	（狄利克雷）
肖特基接触 / 栅极	（诺依曼）
区域界面	连续

隧穿迁移率修正

可选的迁移率修正改善半导体势垒隧穿建模：

其中 。

激活方式

Physics {
    eQuantumPotential         # 电子量子势
    hQuantumPotential         # 空穴量子势
}

选项：

• Formula=0（默认）：使用势型公式
• Formula=1：使用质量项在微分算子之间的公式（物理上更准确）
• Density：使用基于密度的公式
• LocalModel=<name>：指定 模型
• BoundaryCondition：指定界面边界条件

参数设置

QuantumPotentialParameters {
    gamma = 1           # 拟合参数
    alpha[1] = 1       # x 方向各向异性
    alpha[2] = 0.5      # y 方向（减半）
    alpha[3] = 1        # z 方向
}

WARNING

参数 仅对硅校准。量子校正影响器件中的密度和场分布，因此可能需要重新校准与经典模拟（或 van Dort 模型）相关的迁移率和复合模型参数。

求解

Solve {
    Coupled { Poisson eQuantumPotential hQuantumPotential }
    Quasistationary (
        DoZero InitialStep=0.01 MaxStep=0.1 MinStep=1e-5
        Goal { Name="gate" Voltage=2 }
    ){
        Coupled { Poisson Electron eQuantumPotential }
    }
}

修改的局域密度近似模型（Modified Local-Density Approximation Model）

MLDA 模型是处理薄层结构（如超薄 SOI 或 MOSFET 沟道）中量子化效应的有效方法。

原理

基于修正的局域密度近似，载流子密度修正为：

其中量子化修正在每个网格点局部计算，无需求解完整的薛定谔方程。

激活方式

Physics {
    eQuantumPotential(LocalModel=MLDA)
    hQuantumPotential(LocalModel=MLDA)
}

层厚度设置

MLDA 需要层厚度信息：

LayerThickness( Thickness = <float> )  # µm

自动提取：

LayerThickness( AutoExtract )

MLDA 选项

选项	说明
ThinLayer	激活能带展宽效应
NoThinLayer	禁用能带展宽
QuantumPotential	使用密度梯度计算

示例

LayerThickness( Thickness = 0.01 )  # 10 nm
Physics {
    eQuantumPotential(LocalModel=MLDA ThinLayer)
    hQuantumPotential(LocalModel=MLDA ThinLayer)
}

与薛定谔方程的比较

特性	MLDA	1D 薛定谔
计算速度	快	慢
精度	近似	精确
适用维度	1D	1D
能带展宽	支持	支持

能带不连续性与界面处理

异质结

在异质结界面，能带不连续性导致量子化效应的改变。Sentaurus Device 自动处理：

• 导带和价带边的突变
• 有效质量的变化
• 谷间散射

界面量子化

对于 Si-SiO₂ 界面，量子化效应主要在半导体侧。氧化物中由于大带隙，量子化效应可忽略。

薄层量子化

对于超薄层（< 5 nm），需要考虑：

• 第一子带能量的量化
• 能带展宽效应
• 谷间耦合

多谷模型的量子化校正

与多谷模型的组合

量子化校正可与多谷模型组合：

Physics {
    eMultiValley
    eQuantumPotential(LocalModel=MLDA)
}

谷依赖的量子化

不同谷具有不同的量子化能量偏移：

其中 是量子化方向的层厚度。

k·p 模型

六带 k·p 模型（空穴）和两带 k·p 模型（电子）可与量子化校正组合：

Physics {
    hMultivalley(kpDOS)
    hQuantumPotential(LocalModel=MLDA)
}

参考文献

[1] F. Stern and W. E. Howard, "Properties of Semiconductor Surface Inversion Layers in the Electric Quantum Limit," Phys. Rev., vol. 163, no. 3, pp. 816–835, 1967.

[2] T. Ando, A. B. Fowler, and F. Stern, "Electronic properties of two-dimensional systems," Rev. Mod. Phys., vol. 54, no. 2, pp. 437–672, 1982.

[3] M. G. Ancona and G. J. Iafrate, "Quantum correction to the electron density in a semiconductor-inversion layer," Phys. Rev. B, vol. 39, no. 13, pp. 9536–9540, 1989.

[4] D. K. Blanks et al., "Enhanced velocity overshoot in n⁺-n- n⁺ GaAs diodes: Evidence for nonlocal transport," J. Appl. Phys., vol. 64, no. 5, pp. 2463–2468, 1988.