第30章：铁磁性与自旋输运

来源: Sentaurus Device User Guide W-2024.09 PDF 第961-975页

自旋电子学简介

传统半导体器件基于电荷输运。电子被视为带电粒子，其运动产生电流。除了电荷之外，电子还携带一种称为电子自旋的固有角动量。具有角动量的带电粒子起到磁偶极子的作用。在个别磁矩没有空间排序的情况下，它们的磁场相互抵消，自旋对电子输运的影响很小。

然而，在铁磁材料中，相邻晶格位点上内层电子（通常为 d 或 f 轨道）的净磁矩通过交换相互作用平行排列：形成扩展磁畴，产生的磁场导致导带电子的能量出现很大差异，这取决于磁化强度和自旋方向的相对取向。

导带电子自旋与结合到器件结构中的铁磁区域的磁化强度之间的相互作用，产生了一类自旋电子器件。例如，两个被薄绝缘体隔开的铁磁区域之间的隧穿电流成为隧穿势垒两侧磁化方向之间夹角的函数（隧穿磁阻效应）。相反，自旋极化电子的流动伴随着角动量的输运（自旋流），而铁磁区域中自旋流的吸收可能会改变磁化方向（自旋转移矩效应）[1]。

以下各节描述了 Sentaurus Device 中用于自旋电子器件建模的模型，特别是通过磁隧道结（MTJ）的自旋选择隧穿模型和铁磁区域中的磁化强度动力学模型。

Applications Library 中提供了一个 MTJ 中磁化强度开关仿真的示例[2]。

磁隧道结中的输运

磁直接隧穿模型描述了流过夹在两个铁磁区域之间的薄势垒层的电荷流和自旋流。与非磁隧道结不同，MTJ 的电流取决于施加在结上的电压和势垒两侧的磁化方向。这种效应称为隧穿磁阻。

磁直接隧穿模型

磁直接隧穿模型假设势垒层由单一材料组成，并将隧穿势垒视为梯形。图 56 显示了这种 MTJ 的能带示意图。

图片：/sentaurus-ref/public/images/sdevice/ch30_fig56.png

MTJ 的电流和自旋透射振幅通过求解具有开放边界条件的薛定谔方程获得。这可以通过应用非平衡格林函数（NEGF）形式[3][4]来实现。然而，对于图 56 所示的情况，通过解析假设可以加速开放边界的数值求解：在铁磁区域（零场）中，波函数的旋量分量可以表示为前向和后向传播平面波的线性组合。在势垒区域（恒定场）中，使用艾里函数（第一类和第二类）。

在界面上，强制概率密度连续和概率密度通量守恒。由此产生的模型类似于 Sentaurus Device 中用于研究晶体管栅极漏电流的常规直接隧穿模型（见第 858 页的直接隧穿）。然而，这里使用旋量而不是标量波函数来处理自旋自由度，并保留了对界面平行晶体动量分量的积分。

在某些限制条件下（；金属和势垒区域中质量相等；适度偏置），磁直接隧穿模型的结果可简化为常规直接隧穿模型的结果（见第 858 页的直接隧穿）。磁隧穿的艾里函数形式已通过与内部 NEGF 实现的直接比较得到验证。在晶格收敛极限下，NEGF 和艾里函数结果完全一致。

使用磁直接隧穿模型

磁直接隧穿模型通过在命令文件的 Physics 部分中为铁磁材料和势垒材料之间的界面指定以下内容来激活：

tcl

Physics (MaterialInterface="CoFeB/MgO") {
    Tunneling(DirectTunneling(MTJ))
}

磁直接隧穿的物理参数

磁直接隧穿模型的参数在参数文件中相应材料（或区域）界面的 DirectTunneling 部分中定义。例如：

tcl

MaterialInterface="CoFeB/MgO" {
    DirectTunneling {
        m_M = 0.73
        m_dos = 0.73, 0          # hole m_dos must be zero
        m_ins = 0.16, 999        # hole value is ignored
        E_F_M = 2.25
        E_barrier = 3.285, 999   # hole value is ignored
        D_spin = 2.15
    }
}

磁直接隧穿模型的参数见表 162。与非磁直接隧穿相比，增加了一个参数：自旋能分裂。铁磁材料假定为金属；因此不使用半导体有效质量参数，只考虑电子隧穿。空穴参数值被忽略，但需要占位符值以正确解析参数文件。

NOTE

势垒两侧的参数必须相同。镜像力有效势垒模型尚未在磁直接隧穿模型中得到测试。它默认关闭。

表 162：直接隧穿系数（MgO/CoFeB 的值来自 [4][5]）

符号	参数名	电子	空穴	单位	描述
	E_F_M	2.25	-/-	eV	铁磁体中的费米能级（相对于导带）
	D_spin	2.15	-/-	eV	铁磁体中自旋向上和自旋向下电子之间的能量分裂
	E_barrier	3.185	<忽略>	eV	能量势垒（铁磁体导带边与势垒的差值）
	m_M	0.73	-/-		铁磁体中的有效质量
	m_ins	0.16	<忽略>		势垒中的有效质量
	m_dos	0.73	0		界面平行的态密度质量；空穴值必须为零
mtj_reversed_assembly	—	0	—	—	设置为 1 以评估自旋流而非。仅用于向后兼容。

磁直接隧穿的数学参数

MTJ 隧穿积分的评估以及用于重用先前结果的值缓存和插值策略，可以通过命令文件 Math 部分中的 MTJ 语句来控制。例如：

tcl

Math {
    MTJ(interpolate(kT(order=1 Grid=1e-3)))
}

表 163 总结了其可用参数。参数名用斜杠（/）细分以反映 MTJ 语句的层次结构。

表 163：磁直接隧穿模型的数学参数

参数名	默认值	单位	描述
interpolate/Voltage/Grid	1e-3	V	MTJ 电压插值或捕捉的网格间距
interpolate/Voltage/order	2	—	施加电压的插值阶数： • 0：简单值捕捉 • 1：分段线性插值 • 2：分段抛物线插值
interpolate/kT/Grid	1e-8	eV	隧穿边缘两端温度（乘以）插值或捕捉的网格间距
interpolate/kT/order	0	—	结温度的插值阶数： • 0：简单值捕捉 • 1：双线性插值
dE	0.01	eV	（总）能量积分的间隔大小
dEp	0.01	eV	能量积分的间隔大小（来自面平行 k 矢量的贡献）
digits	10	—	隧穿积分的有效数字位数

磁化强度动力学

本节讨论在 STT 存在下自由铁磁层内部的磁化强度动力学建模。引入朗道-栗弗席兹-吉尔伯特（LLG）方程，并讨论了 macrospin 近似中有效磁场的表达式。它基于[6][7]中磁化强度动力学和自旋流相互作用的表述。

磁场中自由电子的自旋动力学

自由电子的自旋角动量和磁矩通过旋磁比关系：

其中是玻尔磁子。

磁矩在局部场中的能量为。该哈密顿量产生动力学方程：

该方程描述了电子自旋绕局部磁场方向的进动。这也可以用磁矩代替自旋角动量来等价地表示：

其中。

铁磁层中的磁化强度动力学

磁化强度矢量可以解释为磁偶极子的体积密度。在阻尼项不存在的情况下，磁化强度矢量将绕有效磁场进动：

其中有效场通过对磁能量密度关于局部磁化强度求导获得：

LLG 方程通过添加唯象粘性阻尼项[8]来考虑磁化强度随时间与有效磁场对齐的观察：

其中是饱和磁化强度（假定为材料常数），是唯象阻尼参数。

在自旋极化电流存在的情况下，还需要考虑角动量被铁磁层吸收的速率。

自旋流定义为注入铁磁层的角动量速率（磁直接隧穿模型提供电荷流和自旋流）。

假设注入导带电子的自旋方向迅速与铁磁层的磁化强度对齐。在此过程中，注入角动量的法向分量：

从导带电子转移到铁磁体的核心电子，并对磁化强度施加额外的力矩。这就是 STT-RAM 的同名自旋转移矩：

关于磁化强度方向并消去方程（1001）右边的时间导数，带 STT 的 LLG 方程形式为：

磁能量密度的贡献

如方程（998）所示，驱动磁化强度动力学的有效磁场与能量密度相关。一般来说，磁化强度可以是位置和时间相关的矢量场。那么，能量密度可以写成：

其贡献来自以下效应：

交换相互作用：
该项有利于铁磁体中附近自旋的平行排列（）。如果该项占主导，单个磁畴可以跨越整个样品。
杂散/退磁场所：
退磁场是由样品中所有磁矩之和产生的磁场。在足够大的样品中，退磁场的能量含量可以通过形成多个磁畴来降低。在较小的样品中，该项有利于磁化方向沿样品最长延伸方向排列（如指南针）。
磁晶各向异性：
在晶体材料中，磁能可能取决于磁化强度相对于晶轴的方向。
塞曼能量：
磁矩在外部磁场中的能量。

Macrospin 近似中的能量密度和有效场

在 macrospin 近似中，每个磁区域被视为由单个完全对齐的磁畴组成。这消除了上一节中磁化强度矢量场的位置依赖性，并将其简化为单一时间相关磁化强度矢量。

Macrospin 近似模拟了交换项相对于能量密度中其他项的主导地位（单一完美畴）。由于样品内部磁化强度方向不再有位置依赖性，消失。

此外，能量密度（因此有效磁场）被处理为的局部函数。这意味着铁磁层内部退磁场与位置无关的假设。可以证明，在无限薄膜以及椭球形[9]铁磁样品中，退磁场恰好是恒定的且平行于磁化方向。对于圆柱薄膜几何形状，这仍然近似成立。

在 macrospin 近似的层面，磁晶各向异性和退磁场的效应变得难以区分，并被归入单一有效各向异性项。

在 Sentaurus Device 中，与该有效各向异性相关的能量密度分为单轴各向异性：

其中：

是 Stoner-Wohlfarth 开关场，和易面各向异性：

其中：

其中是用于解释与理想薄膜几何形状偏差的参数（）。

在器件仿真中使用磁化强度动力学

如果在命令文件的 Solve 部分中指定了方程名 LLG，则磁化强度动力学包含在仿真中。STT 器件通常需要瞬态仿真。

要同时求解磁化强度、金属中的电流和静电势，必须将 LLG 方程、接触方程和泊松方程作为耦合方程组求解。因此，STT 器件仿真的典型 Solve 语句为：

tcl

Transient (InitialTime=0 FinalTime=12e-9 maxstep=1.0e-11) {
    Coupled { Poisson Contact LLG }
}

时间步长必须被限制以确保捕捉到磁化强度动力学典型的高频振荡。

区域选择和初始条件

固定区域和钉扎区域的定义以及磁化强度方向的初始条件，由区域特定 Physics 部分中的 Magnetism 语句处理：

tcl

Physics(Region="AnodeWell") {
    Magnetism(PinnedMagnetization Init(phi=0.0 theta=0.0))
}
Physics(Region="CathodeWell") {
    Magnetism(Init(phi=0.0 theta=3.14))
}

这里，AnodeWell 区域中的磁化强度被钉扎在（）；而 CathodeWell 区域中的磁化强度是自由的，初始条件为和（接近）。

可以在 Magnetism 语句中指定外部磁场（单位 A/m）：H_ext= (<Hx>, <Hy>, <Hz>)。

绘制时间相关磁化强度

在 macrospin 近似中，磁化强度在每个区域是恒定的。那么，通过绘制自由层中磁化强度矢量的平均方向，可以捕捉磁化强度的完整时间演化。在仿真示例[2]中，自由层称为 CathodeWell，磁化强度方向的绘制由以下 CurrentPlot 部分触发：

tcl

CurrentPlot { MagnetizationDir/Vector3D(average(Region="CathodeWell")) }

除了笛卡尔坐标中的磁化强度方向外，还可以绘制磁化强度方向的天顶角 Magnetization_theta 和方位角 Magnetization_phi（对应正 z 方向）。

磁化强度动力学参数

磁化强度动力学（LLG 方程）的参数在参数文件中相应材料或区域的 Magnetism 部分中定义。

表 164：LLG 方程参数（典型值）

参数名	值和单位	描述
SaturationMagnetization	8.0e5 A/m	铁磁材料的饱和磁化强度
alpha	0.01	Gilbert 阻尼系数
Hk	7957.75 A/m	Stoner-Wohlfarth 开关场（取决于层几何形状）
Meff	5e5 A/m	用于参数化易面各向异性的有效磁化强度（取决于几何形状）
A	1e-11 J/m	铁磁材料的交换刚度（仅在 macrospin 被禁用时使用；见第 973 页的 Macrospin 之外的磁化强度动力学：位置相关交换和自旋波）

磁化强度动力学的时间步控制

为了在 LLG 方程的瞬态求解过程中改善时间步控制，可以限制仿真过程中可能发生在单个时间步内的磁化强度方向的最大变化。如果超过此限制，则拒绝更新，并减小时间步直到满足限制。

例如，在命令文件的 Math 部分中请求每个时间步磁化强度笛卡尔分量最大局部变化为 0.1：

tcl

Math {
    Magnetism(dxyz=0.1))
}

dxyz 的默认值为 0.15。

热涨落

磁化强度动力学可以受到热涨落的影响。可以通过将确定性有效场替换为来在分析中包含此效应，其中热涨落场是具有以下自相关函数[10]的随机场：

使用热涨落

通过在 Physics 部分的 Magnetism 语句中添加 ThermalFluctuations 关键字来激活热涨落建模：

tcl

Physics {
    Magnetism(ThermalFluctuations)
}

热涨落场的强度可以通过乘以可选参数 H_th_scaling_factor（默认值：1）来修改。通过因子 2 抑制的语法（对应于温度除以 4）：

tcl

Physics {
    Magnetism(ThermalFluctuations H_th_scaling_factor=0.5)
}

默认情况下，用于随机化过程的随机数生成器的种子每次仿真都不同。但是，如果需要可以指定 Math/Magnetism/RandomSeed。这允许在使用相同种子的后续仿真中重复特定的随机化。

平行和垂直自旋转移矩

在 MTJ 中，通常将 STT （方程 1000）相对于隧穿势垒两侧磁化强度方向所跨越的平面分解为垂直分量和平行（或面内）分量。

如果是该平面的单位法向量，则垂直力矩定义为：

面内力矩定义为：

Sentaurus Device 提供了用户可访问的缩放因子和（默认值 1），用于分别独立缩放面内和垂直力矩分量。

在将 MTJ 校准到从头计算或测量数据的背景下，有时使用由有效极化（默认值 0）表征的替代平行力矩表达式可能很方便：

其中：

是沿方向的单位向量
是两个磁化强度方向垂直对齐时 MTJ 的线性响应电导
是施加在结上的电压，是"有效极化"（默认值：0）
因子将电荷流转换为角动量流（即力矩）

与 MTJ 隧穿模型的原生平行力矩项不同，与电压成正比且在电压反转下对称。通过调整和，可以控制电压力矩曲线的非对称程度而不影响隧穿磁阻比（TMR）。总之，LLG 方程中的（方程 1002）被有效力矩替换：

有时，能够修改面内和垂直力矩分量的相对强度是有益的。为此提供了用户可访问的缩放因子和。如果它们从默认值 1 修改，则 LLG 方程（方程 1002）中的 STT 被有效力矩替换：

在命令文件中，这些缩放因子可以从 Physics 部分访问：

tcl

Physics {
    Magnetism(parallel_torque_scaling_factor=<double>)      # ε|| 
    Magnetism(perpendicular_torque_scaling_factor=<double>)  # ε⊥
    Magnetism(parallel_torque_effective_polarization=<double>)  # Peff
}

Macrospin 之外的磁化强度动力学：位置相关交换和自旋波

Macrospin 近似基于这样的假设：交换相互作用的影响远强于所有其他磁效应。因此，最能量上有利的磁化强度构型是跨越整个铁磁体的单个完全对齐的畴。

然而，在许多结构中，交换相互作用（有利于单畴行为）和退磁场（试图分解畴以减少杂散场的能量含量）之间存在竞争。退磁场的非局域性尚未在 Sentaurus Device 中实现。

但是，即使没有它，恢复磁化强度方向的矢量场特性，并将交换场：

添加到 LLG 方程（方程 1002）的有效场中，也会产生有趣的现象，如自旋波。这允许，例如，建模诸如[11]中提出的自旋矩多数栅极器件的非局域开关行为。

图片：/sentaurus-ref/public/images/sdevice/ch30_fig57.png

使用位置相关交换

只要 macrospin 近似的节点合并机制被停用，交换项就会变为活跃：

tcl

Physics (Region="CathodeWell") {
    Magnetism(-MacroSpin)
    # deactivate macrospin approximation
}

LLG 方程有效磁场的用户定义贡献

您可以使用物理模型接口（PMI）来定义 LLG 方程（方程 1002）的场的其他贡献。见第 1259 页第 39 章关于 PMI 的一般信息，以及第 1467 页关于自旋电子学特定 PMI 模型的详细信息。

参考文献

[1] D. C. Ralph and M. D. Stiles, "Spin transfer torques," Journal of Magnetism and Magnetic Materials, vol. 320, no. 7, pp. 1190–1216, 2008.

[2] Simulation of Magnetization Switching in a CoFeB/MgO/CoFeB Magnetic Tunnel Junction, available from TCAD Sentaurus Version W-2024.09 installation, go to Applications_Library/Memory/STT_MTJ.

[3] D. Datta et al., "Quantitative Model for TMR and Spin-transfer Torque in MTJ devices," in IEDM Technical Digest, San Francisco, CA, USA, pp. 548–551, December 2010.

[4] Y. Hiramatsu et al., "NEGF Simulation of Spin-Transfer Torque in Magnetic Tunnel Junctions," in International Meeting for Future of Electron Devices, Osaka, Japan, pp. 102–103, May 2011.

[5] D. Datta et al., "Voltage Asymmetry of Spin-Transfer Torques," IEEE Transactions on Nanotechnology, vol. 11, no. 2, pp. 261–272, 2012.

[6] J. Z. Sun, "Spin-current interaction with a monodomain magnetic body: A model study," Physical Review B, vol. 62, no. 1, pp. 570–578, 2000.

[7] J. Miltat, G. Albuquerque, and A. Thiaville, "An Introduction to Micromagnetics in the Dynamic Regime," Spin Dynamics in Confined Magnetic Structures I, vol. 83, B. Hillebrands and K. Ounadjela (eds.), Springer: Berlin, pp. 1–34, 2002.

[8] T. L. Gilbert, "A Phenomenological Theory of Damping in Ferromagnetic Materials," IEEE Transactions on Magnetics, vol. 40, no. 6, pp. 3443–3449, 2004.

[9] J. A. Osborn, "Demagnetizing Factors of the General Ellipsoid," Physical Review, vol. 67, no. 11 and 12, pp. 351–357, 1945.

[10] J. Xiao, A. Zangwill, and M. D. Stiles, "Macrospin models of spin transfer dynamics," Physical Review B, vol. 72, no. 1, p. 014446, 2005.

[11] D. E. Nikonov, G. I. Bourianoff, and T. Ghani, "Proposal of a Spin Torque Majority Gate Logic," IEEE Electron Device Letters, vol. 32, no. 8, pp. 1128–1130, 2011.

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