第31章：机械应力

来源: Sentaurus Device User Guide W-2024.09 PDF 第976-1053页

概述

本章概述了应力在器件仿真中的重要性。应力工程是确保 CMOS 器件高性能的关键点。机械应力可以影响功函数、带宽、有效质量、载流子迁移率和漏电流。应力由许多由于不同工艺温度和材料特性的工艺过程产生。此外，它可以被添加（例如将硅层添加到 SiGe 衬底上）以提高器件性能。

半导体微结构的机械畸变导致能带结构和载流子迁移率的变化。这些效应是众所周知的，应变诱导能带变化的适当计算基于形变势理论[1]。Sentaurus Device 中形变势模型的实现基于文献[1][2][3][4]中提出的数据和方法。Sentaurus Device 中实现的其他方法[5][6]更侧重于压阻效应的描述。

半导体中的应力和应变

一般来说，应力张量是一个对称的 3×3 矩阵。因此，它只有六个独立分量，用收缩的六分量矢量表示很方便：

其中使用以下索引收缩规则：

收缩张量表示法简化了张量表达式。例如，计算应变张量（形变势模型所需）的一种方法是由各向异性材料的广义胡克定律给出：

其中是弹性柔度张量的一个分量。弹性柔度张量是对称的，这允许将上式写成简化的收缩形式：

除了索引收缩外，还使用了以下和的收缩规则[7]：

注意，、和通常称为工程剪切应变分量，与模型方程中使用的双下标剪切分量有关：

在具有立方对称性的晶体（如硅）中，将坐标系平行于晶体高对称轴旋转，弹性柔度张量（以及其他材料性质张量）的独立系数减少到三个[8]。这给出了以下（收缩的）柔度张量：

其中系数、和分别对应平行、垂直和剪切分量。

在 Sentaurus Device 中，应力张量可以在应力坐标系中定义。要将该张量转换到另一个坐标系（例如晶体坐标系，这是常见操作），应用以下两个坐标系之间的变换规则：

其中是旋转矩阵：

使用应力和应变

应力相关模型在命令文件的 Physics{Piezo()} 部分中选择。应力和应变张量的分量（如果它们在器件或区域上是恒定的）也在此处指定，以及应力张量定义坐标系的分量 OriKddX 和 OriKddY（见表 165）：

tcl

Physics {
    Piezo (
        Stress = (XX, YY, ZZ, YZ, XZ, XY)
        Strain = (XX, YY, ZZ, YZ, XZ, XY)
        OriKddX = (1,0,0)
        OriKddY = (0,1,0)
        Model (...)
    )
}

表 165：Piezo 通用关键字

参数	描述
Stress=(XX, YY, ZZ, YZ, XZ, XY)	如果 Piezo 文件未在 File 部分给出，指定均匀应力 [Pa]。
Strain=(XX, YY, ZZ, YZ, XZ, XY)	指定均匀应变 [1]。
OriKddX = (1,0,0)	定义相对于仿真坐标系的应力系统密勒指数。
OriKddY = (0,1,0)	定义相对于仿真坐标系的应力系统密勒指数。
Model(<options>)	在 <options> 中选择应力相关模型（见本章后续各节）。

NOTE

应力系统始终相对于 Sentaurus Device 的仿真坐标系定义（在命令文件的 Piezo 部分）。仿真坐标系默认相对于晶体取向系统定义，但可以在参数文件中定义晶体系统相对于仿真系统。如果未指定，所有三个坐标系重合。

应力张量

除了在命令文件的 Piezo 部分指定恒定应力张量外，Sentaurus Device 还提供了不同的方式来定义位置相关应力值：

应力值场 [Pa]（由机械结构分析获得）通过在 File 部分指定 Piezo 条目来读取：
tcl
```
File {
    Piezo = <piezofile>
}
```
1
2
3
Sentaurus Device 将应力识别为 3 维单个对称二阶张量（Stress），或六个标量值（StressXX、StressXY、StressXZ、StressYY、StressYZ 和 StressZZ）。
可以使用物理模型接口来指定应力。
Solve 部分中的 Mechanics 命令可以响应偏置条件的变化更新应力张量。

NOTE

所有这些应力规范中的应力值应为 Pa（1 Pa = 10 dyn/cm²），根据惯例，拉伸应力应为正。

应变张量

应变张量可以通过以下方式之一计算：

根据广义胡克定律，应变可以通过弹性柔度张量从应力获得。
可以在命令文件的 Piezo 部分指定恒定应变张量（见表 165）。
Sentaurus Device 可以从 TDR 文件（ElasticStrain 场）读取应变张量。这需要 File 部分中指定 Piezo 文件。

默认情况下，应变张量将通过胡克定律计算。如有需要，可以在命令文件的 Piezo 部分中选择所需选项：

tcl

Physics {
    Piezo (
        Strain = Hooke
        Strain = (XX, YY, ZZ, YZ, XZ, XY)
        Strain = LoadFromFile
    )
}

应力极限

极高的应力值有时会导致应力相关模型产生非物理结果。作为选项，您可以将被读取或指定在命令文件中的应力值限制为用户指定的最大值。这通过在命令文件的 Math 部分指定 StressLimit 参数来完成：

tcl

Math {
    StressLimit = 4e9  #[Pa]
}

所有半导体顶点处应力分量的大小被限制为指定值，但保留应力值的符号。例如，使用上述规范，从文件读取的应力值被限制为。

晶体学取向和柔度系数

仿真坐标系相对于晶体坐标系可以通过参数文件 LatticeParameters 部分的 X 和 Y 矢量来定义。默认值是：

tcl

LatticeParameters {
    X = (1, 0, 0)
    Y = (0, 1, 0)
}

仿真系统相对于晶体系统定义。或者，有一个选项可以表示晶体系统相对于 Sentaurus Device 仿真系统。在这种情况下，必须在 LatticeParameters 部分中使用 CrystalAxis 关键字，X 和 Y 矢量将表示晶体系统在 Sentaurus Device 仿真系统中的 <100> 和 <010> 轴。

弹性柔度系数 [10⁻¹² cm²/dyn] 可以在参数文件的 LatticeParameters 部分中的字段 S[i][j] 中指定。如果您选择立方晶体系统（通过指定 CrystalSystem=0），则只需指定、和。对于六方晶体系统（CrystalSystem=1），还必须指定和。否则，所有未指定的系数设置为 0。

参数文件的以下部分显示了硅的默认值：

tcl

LatticeParameters {
    * Crystal system and elasticity.
    X = (1, 0, 0)            # [1]
    Y = (0, 1, 0)            # [1]
    S[1][1] = 0.77           # [1e-12 cm^2/dyn]
    S[1][2] = -0.21          # [1e-12 cm^2/dyn]
    S[4][4] = 1.25           # [1e-12 cm^2/dyn]
    CrystalSystem = 0         # [1]
}

能带结构的形变

由于应变导致的晶体晶格畸变会改变大多数半导体的能带结构，产生导带和价带的变化以及相应的带宽和电子亲和能的变化。Sentaurus Device 提供了以下线性和非线性模型来描述应变对能带结构的影响。

Bir 和 Pikus 模型

对于硅，Bir 和 Pikus[9]提出了应变诱导载流子谷或能带能量变化的模型（考虑了三个电子谷、重空穴和轻空穴带），其中忽略电子的剪切应变，并建议对空穴使用非线性依赖[9]：

其中、、、、是形变势，对应载流带编号，是应变张量在晶体坐标系中的分量。符号 ± 分隔硅的重空穴和轻空穴带。

线性形变模型

电子谷能量的应力诱导变化对应于线性形变模型的简单形式。应用于任意椭球带（例如锗中的四个 L 电子谷或 III-V 材料中的电子谷）的模型可以表示为[10]：

其中：

、是线性形变势。
是单位 3×3 矩阵。
是晶体坐标系中的应变张量。
是椭球谷主轴 k 矢量方向的单位向量。

NOTE

并矢积定义为。

对于球形带（例如具有各向同性有效质量的电子谷），形变势应在方程中等于零。

k·p 模型

如前所述，线性形变势模型限于小应变和一些特定能带结构。对于硅，其他模型提供非线性修正。

对于导带，使用在区边界 X 点的简并 k·p 理论，文献[11]和[13]的作者推导了电子谷的额外剪切项：

其中：

是一个无量纲的离轴应变，其中。
是两个最低导带之间的能带分离。
是负责两个最低导带能带分裂的形变势[11]。

对于价带，应变诱导的能带移动可以直接从重空穴、轻空穴和分裂带的点 6×6 k·p 理论计算。该模型利用 Bir-Pikus 价带模型中相同的 a、b 和 d 形变势，以及自旋轨道分裂能参数。

默认情况下，Sentaurus Device 不修改有效质量，而是使用各能带边移动的平均值计算应变诱导的导带和价带边移动和。

或者，可以通过使用各导带和价带移动的最小值和最大值分别获得更准确的带宽表示：

带宽和亲和能可以修改：

其中下标"0"对应应力形变前的亲和能和带宽值。

使用形变势模型

要激活电子和空穴的基于 k·p 的形变势模型，并使用方程计算导带和价带能量移动，在命令文件的 Piezo 部分必须使用：

tcl

Physics (Region = "StrainedSilicon") {
    Piezo(
        Model(DeformationPotential(ekp hkp minimum)
    )
}

NOTE

不推荐使用不带 ekp 和 hkp 选项的 DeformationPotential。

要修改这些模型的形变势，应在 LatticeParameters 部分使用参数。硅的默认参数值为：

tcl

LatticeParameters {
    * Deformation potentials of k.p model for electron bands
    xis = 7            # [eV]
    dbs = 0.53        # [eV]
    xiu = 9.16        # [eV]
    xid = 0.77        # [eV]
    Mkp = 1.2         # [1]
    * Deformation potentials of k.p model for hole bands
    adp = 2.1         # [eV]
    bdp = -2.33       # [eV]
    ddp = -4.75       # [eV]
    dso = 0.044       # [eV]
    * Deformation potentials and energy for L-valleys
    xiu_l = 11.5      # [eV]
    xid_l = -6.58     # [eV]
    e_l = 1.1         # [eV]
    * Deformation potential and energy for Gamma-valley
    xid_gamma = -7.0  # [eV]
    e_gamma = 2.3     # [eV]
}

参数 xis、dbs、xiu 和 xid 对应电子谷的形变势、、、。参数 xiu_l 和 xid_l 定义 L 谷的形变势，e_l 设置导带中 L 和电子谷之间的松弛能量差。

参数 xid_gamma 定义谷的形变势，参数 e_gamma 设置和电子谷之间的松弛能量差。其他参数是价带形变势：

adp 是静水形变势。
bdp 是剪切形变势。
ddp 是形变势。
dso 是自旋轨道分裂能。

应变有效质量和态密度

Sentaurus Device 提供了计算电子和空穴应变相关有效质量以及因此的应变相关导带和价带有效态密度（DOS）的选项。

应变电子有效质量和 DOS

硅中的导带由三对等效谷近似。在无应力情况下，每个谷的 DOS 为：

如"能带结构的形变"一节所述，施加的应力诱导每个谷的不同能量的相对移动。此外，在剪切应力存在下，电子的有效质量有很大变化。[13]中给出了该质量变化的解析推导，基于两带 k·p 理论。

当 k·p 模型在第一导带带底评估时，获得横向有效质量的两个不同分支，其中是跨应力方向的质量，是沿应力方向的质量。

每个谷的应力诱导 DOS 有效变化可写为：

考虑应力诱导谷能量的变化和谷之间的载流子重新分布，应变相关导带有效 DOS 可以为玻尔兹曼统计推导：

应变空穴有效质量和 DOS

为计算硅中任意应变的空穴有效 DOS，假设玻尔兹曼统计[14][15]，明确积分六带 k·p 方法提供的能带结构。

应变相关价带有效 DOS 从下式计算：

其中。

使用应变有效质量和 DOS

应变相关有效质量和 DOS 计算可以通过在命令文件 Physics 部分的 Piezo(Model()) 中指定 DOS(eMass)、DOS(hMass) 或 DOS(eMass hMass) 作为参数来选择。

多谷能带结构

多谷模型是一种替代方案，它考虑了半导体能带结构中各个谷中载流子分布的应力效应，其中在每个谷中分别考虑应力效应。因此，该模型不需要对导带和价带边能量和 DOS 应用有效修正。

迁移率建模

器件结构中存在机械应力会导致各向异性载流子迁移率，必须用迁移率张量来描述。电子和空穴电流密度在这种情况下由下式给出：

NOTE

这是一个通用表达式，用于校正载流子电流密度。本章描述的迁移率模型校正考虑了详细的半导体能带结构、界面和沟道取向效应、界面和几何量子化等影响。

多谷电子迁移率模型

为计算应力诱导电子迁移率，Sentaurus Device 考虑了迁移率近似[6][13][20][21]的几种方法，并计算迁移率比（3×3 张量），校正松弛电流密度。最简单的方法[6]侧重于建模硅中载流子带间再分布导致的迁移率变化。

多谷空穴迁移率模型

类似于电子应力诱导迁移率模型，总空穴迁移率张量可以写成以下一般形式，可应用于体和反型层情况[23]：

该模型在所有三项中都考虑了六带 k·p 空穴能带结构[14]。

Intel 应力诱导空穴迁移率模型

Intel[24]提出了一种基于应变 PMOS 器件中价带不同部分占据率的迁移率模型。在压应力沿 <110> 方向施加时，其中一个臂收缩，能带变为单个椭球能带。

压阻迁移率模型

该方法[5][7][27]侧重于压阻效应的建模。该模型基于将迁移率增强张量展开为应力级数。Sentaurus Device 提供了计算一阶或二阶压阻迁移率模型的选项。

各向同性因子模型

Sentaurus Device 提供了计算应力相关增强因子的选项，这些增强因子作为各向同性因子应用于迁移率。这些选项称为因子模型，可用作基于张量模型的替代方案。

少数载流子应力迁移率模型

测量数据显示，少数载流子迁移率（如 MOSFET 沟道中载流子的迁移率）的应力依赖性与多数载流子迁移率的应力依赖性不同。作为校准选项，Sentaurus Device 为应用于少数载流子迁移率的应力效应提供了额外的因子：

其中是任何应力模型的应力诱导迁移率变化。少数载流子因子可以通过关键字 eMinorityFactor 和 hMinorityFactor 指定。

压电极化

Sentaurus Device 提供了两个模型（应变和应力）来计算 GaN 器件中的极化效应。它们可以在命令文件的 Physics 部分中激活：

tcl

Physics {
    Piezoelectric_Polarization (strain)
    Piezoelectric_Polarization (stress)
}

应变模型

压电极化矢量可以表示为局部应变张量的函数：

其中是自发极化矢量 [C/cm²]，是应变-电荷压电系数 [C/cm²]。

应力模型

应力模型计算完整极化矢量（张量形式），不做简化假设：

其中是压电系数 [cm/V]，是应力张量 [Pa]。

基于极化矢量，压电电荷根据下式计算：

该值被添加到泊松方程的右边。

力学求解器

NOTE

Sentaurus Device 中的力学求解器是一个实验性功能，在未来版本中可能会被修改。

在器件仿真过程中，应力张量可能作为解变量的函数而变化。例如：

不同材料具有不同的热膨胀系数。这种热失配导致应力随器件晶格温度变化而变化。
GaN HEMT 的电退化提出由于与逆压电效应相关的过度应力形成缺陷。在这种情况下，应力张量随局部电场变化。

Sentaurus Device 在 Solve 部分提供了 Mechanics 语句，以响应偏置条件的变化重新计算应力张量。

Sentaurus Device 依赖 Sentaurus Interconnect 来更新应力张量。Solve 部分中的 Mechanics 语句执行以下操作：

Sentaurus Device 创建一个包含当前解变量（如静电势或晶格温度）的输入结构（TDR 文件）以及 Sentaurus Interconnect 命令文件。
Sentaurus Device 调用 Sentaurus Interconnect。
Sentaurus Interconnect 更新机械应力并产生输出 TDR 文件。
Sentaurus Device 读取 Sentaurus Interconnect 生成的 TDR 文件并更新应力张量。

参考文献

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[31] O. Ambacher et al., "Two dimensional electron gases induced by spontaneous and piezoelectric polarization in undoped and doped AlGaN/GaN heterostructures," Journal of Applied Physics, vol. 87, no. 1, pp. 334–344, 2000.

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[33] G. Y. Huang and C. M. Tan, "Electrical–Thermal–Stress Coupled-Field Effect in SOI and Partial SOI Lateral Power Diode," IEEE Transactions on Power Electronics, vol. 26, no. 6, pp. 1723–1732, 2011.

[34] C. M. Tan and G. Huang, "Comparison of SOI and Partial-SOI LDMOSFETs Using Electrical–Thermal–Stress Coupled-Field Effect," IEEE Transactions on Electron Devices, vol. 58, no. 10, pp. 3494–3500, 2011.

[35] J. Joh and J. A. del Alamo, "Mechanisms for Electrical Degradation of GaN High-Electron Mobility Transistors," in IEDM Technical Digest, San Francisco, CA, USA, pp. 1–4, December 2006.

第31章：机械应力 ​

概述 ​

半导体中的应力和应变 ​

使用应力和应变 ​

应力张量 ​

应变张量 ​

应力极限 ​

晶体学取向和柔度系数 ​

能带结构的形变 ​

Bir 和 Pikus 模型 ​

线性形变模型 ​

k·p 模型 ​

使用形变势模型 ​

应变有效质量和态密度 ​

应变电子有效质量和 DOS ​

应变空穴有效质量和 DOS ​

使用应变有效质量和 DOS ​

多谷能带结构 ​

迁移率建模 ​

多谷电子迁移率模型 ​

多谷空穴迁移率模型 ​

Intel 应力诱导空穴迁移率模型 ​

压阻迁移率模型 ​

各向同性因子模型 ​

少数载流子应力迁移率模型 ​

压电极化 ​

应变模型 ​

应力模型 ​

力学求解器 ​

参考文献 ​

第31章：机械应力

概述

半导体中的应力和应变

使用应力和应变

应力张量

应变张量

应力极限

晶体学取向和柔度系数

能带结构的形变

Bir 和 Pikus 模型

线性形变模型

k·p 模型

使用形变势模型

应变有效质量和态密度

应变电子有效质量和 DOS

应变空穴有效质量和 DOS

使用应变有效质量和 DOS

多谷能带结构

迁移率建模

多谷电子迁移率模型

多谷空穴迁移率模型

Intel 应力诱导空穴迁移率模型

压阻迁移率模型

各向同性因子模型

少数载流子应力迁移率模型

压电极化

应变模型

应力模型

力学求解器

参考文献