第11章：金属、有机材料和无序介质中的输运方程

来源: Sentaurus Device User Guide W-2024.09 PDF 第314-327页

本章描述除低缺陷无机半导体以外的其他材料中的输运方程。

单线激子方程

在有机半导体器件中，除了通过求解泊松方程和连续性方程进行电气部分的仿真外，还引入了单线激子方程来解释与弗伦克尔激子相关的这些材料的光学特性。

该方程仅考虑单线激子，因为三线激子不直接参与发光。该方程模拟了有机半导体中单线激子的产生、扩散、复合和辐射衰减的动态过程。

控制有机半导体中激子输运的单线激子方程为：

其中：

是单线激子密度。
是作为单线激子产生项的载流子双分子复合率。
是单线激子扩散常数。
、是单线激子寿命。
是净单线激子复合率。

方程（144）右侧的第一项考虑通过双分子复合产生激子（见双分子复合模型，第567页）。第二项描述激子扩散；第三项和第四项考虑与发光相关的辐射衰减。

非辐射激子湮灭以及激子转化为自由电子和自由空穴由净激子复合率（第五项）描述：

其中：

、分别是由于自由电子和自由空穴群体导致的激子复合率。
是激子速度。
、分别是电子和空穴速度。、、在参数文件中设置。
、分别是单线激子与电子和空穴之间的反应截面。
还可能包含激子界面解离率，如果激子界面解离模型被激活（见第568页激子解离模型），则将其转换为体积项。

单线激子方程的边界和连续性条件

在电极和热电极处，假设单线激子群体处于平衡态：

其中，和分别是单线激子简并因子和结合能。

单线激子方程在界面处的条件取决于界面类型。界面类型由界面两侧的两个区域决定。

对于仅在界面一侧的区域中求解单线激子方程的界面，施加的边界条件是方程（146）（默认）或（零通量），取决于用户选择。

对于在两个区域中都求解单线激子方程的异质界面，施加的边界条件是类热发射式的。在这种情况下，您可以选择势垒为两个区域的带隙差、导带差或价带差。

假设在材料1和材料2（即区域1和2）之间的异质界面上（，例如），是离开材料2的单线激子通量，是进入材料1的单线激子通量，界面边界条件可写为：

其中和分别是材料2和1在异质界面处的单线激子密度，是在参数文件中定义的有机异质界面发射速度。

使用单线激子方程

要激活单线激子方程，必须在 Solve 部分的 Coupled 语句中指定 SingletExciton 关键字（见第209页 Coupled 语句）。然后，通过在相应区域的 Physics 部分中用不同选项指定 SingletExciton 关键字来选择要求解方程的区域（默认情况下，没有选择任何区域来求解单线激子方程，因此您必须至少选择一个区域）。

方程（144）中的单线激子产生和复合项默认关闭。可以通过在相应区域 Physics 部分的 SingletExciton 部分中指定 Recombination 的相应选项来逐区域激活（见第1710页表266）。

关键字 Bimolecular 激活双分子产生（第一项）。关键字 Radiative 和 TrappedRadiative 分别激活直接或陷阱辅助的单线激子辐射衰减（第三项和第四项）。eQuenching 和 hQuenching 激活非辐射激子湮灭（第五项）。例如：

tcl

Physics(Region="EML-ETL") {
    SingletExciton(Recombination(Bimolecular eQuenching hQuenching))
}

对于仅在界面一侧的区域中求解单线激子方程的界面，默认边界条件由方程（146）定义。要切换到零通量边界条件，必须在界面 Physics 部分中的 SingletExciton 选项中指定 FluxBC：

tcl

Physics(RegionInterface="Region_0/Region_2") {
    SingletExciton(FluxBC)
}

对于异质界面，单线激子通量注入界面的默认势垒类型（方程147中定义）是带隙能量差。可以通过在异质界面 Physics 部分的 SingletExciton 部分中指定 BarrierType 关键字与 CondBand 或 ValBand 选项来将势垒切换为导带型或价带型：

tcl

Physics(RegionInterface="Region_0/Region_2") {
    SingletExciton(BarrierType(CondBand)
}

与单线激子方程一起使用的参数必须在参数文件的 SingletExciton 部分中指定。

表35：单线激子方程参数

参数名	默认值	位置	单位
gamma	0.25	region	1
tau		region	s
tau_trap		region	s
—		region	cm²/s
l_diff		region	cm
ex_cXsection		region	cm²
ex_cXsection		region	cm²
Eex	0.015	region	eV
gex	4	region	1
vth		region	cm/s
vth_car		region	cm/s
vth_car		region	cm/s
vel		interface	cm/s

金属中的输运

电流在金属或半金属中的输运仿真对于 IC 中的互连问题很重要。金属中的电流密度为：

其中：

是金属电导率。
是金属中的费米势。
是金属的热功率。
是晶格温度。

方程（148）中的第二项解释了塞贝克效应，仅在金属热功率计算被激活时非零（见第1071页热功率）。对于稳态情况，。因此，金属内部费米势的方程为：

对于，应用以下温度依赖性：

所有这些电阻率参数都可以在参数文件中指定为：

Resistivity {
    // Resist(T) = Resist0*( 1 + TempCoef*(T-273) + TempCoef2*(T-273)^2 )
    Resist0  = <value>   // [Ohm*cm]
    TempCoef = <value>   // [1/K]
    TempCoef2 = <value>  // [1/K^2]
}

命令文件中不需要特定的关键字，因为 Sentaurus Device 识别所有导体区域，并将适当的方程应用于这些区域和接口。金属电导率方程（149）是 Contact 方程的一部分，默认情况下自动求解。如果在 Math 部分中指定了 NoAutomaticCircuitContact 关键字，或者仅求解泊松方程，则必须在 Coupled 语句中显式添加 Contact 方程以考虑金属中的电导率。

金属的电气边界条件

使用以下边界条件：

对于连接到金属区域的接触，对费米势应用 Dirichlet 条件。
界面条件始终包括位移电流以确保电流守恒。
对于金属与绝缘体之间的界面，方程为：

其中是金属与本征参考半导体之间的功函数差（由 Sentaurus Device 内部选择），是界面的单位法向量。金属内部的静电势计算为。

在金属-半导体界面上，默认情况下存在欧姆边界条件。可以选择肖特基边界条件作为选项。

金属-半导体界面上的欧姆边界条件为：

其中：

是平衡静电势（内建势）。
和是电子和空穴平衡浓度（见第280页欧姆接触）。

有关肖特基界面的选项，请参阅第283页肖特基接触中的方程。可以应用势垒隧穿模型（见第863页界面、接触和结处的非局域隧穿）和势垒降低模型（见第286页肖特基接触的势垒降低）。

在命令文件中使用以下语法选择这些模型：

tcl

Physics(MaterialInterface = "Metal/Silicon") { Schottky
    eRecVelocity=1e6 hRecVelocity=1e6 }
Physics(MaterialInterface = "Metal/Silicon") { Schottky
    BarrierLowering }
Physics(MaterialInterface = "Metal/Silicon") { Schottky }

电子和空穴表面复合速度的默认值分别为 eRecVel=2.573e6 和 hRecVel=1.93e6。与电极条件类似，如果未指定 Schottky 但指定了 SurfaceSRH 关键字，则 Sentaurus Device 将对静电势施加欧姆边界条件，并对此类界面上的电子和空穴载流子电流密度施加表面复合。

金属功函数

要指定金属功函数，请使用 Bandgap 参数集。例如：

tcl

Material = "Gold" {
    Bandgap { WorkFunction = 5 // [eV] }
}

也可以考虑金属内部功函数的变化。

如果此类变化可以用摩尔分数变化来表征，并且金属被视为摩尔分数依赖材料（见第65页摩尔分数材料），则 Bandgap 参数集中的 WorkFunction 可以指定为摩尔分数依赖量。例如：

tcl

Material = "Metal" {
    Bandgap {
        Xmax(0)=0.0
        Xmax(1)=0.2
        WorkFunction(0) = 4.53 // [eV]
        WorkFunction(1) = 4.38 // [eV]
    }
}

金属中功函数的位置依赖性也可以直接在命令文件的 Physics 部分中使用三种方法之一指定：

tcl

Physics (Material = "<name>" | Region = "<name>") {
    MetalWorkfunction (
        [ Workfunction=<wf> ] |
        [ Workfunction=(<wf1>, <x1>, <y1>, <z1>)
          Workfunction=(<wf2>, <x2>, <y2>, <z2>)
          ...
          Workfunction=(<wfN>, <xN>, <yN>, <zN>) ] |
        [ SFactor= "<dataset_name-or-pmi_model_name>"
          [Factor=<scale>]
          [Offset=<offset>]]
    )
}

金属功函数的随机化

可以使用命令文件中的规范对金属区域中的功函数进行随机化：

tcl

Physics (Material = "<name>" | Region = "<name>") {
    MetalWorkfunction (
        Randomize (
            AverageGrainSize=<size>                // [micrometers]
            GrainProbability=(<P1>, <P2>, ...)
            GrainWorkfunction=(<wf1>, <wf2>, ...)  // [eV]
            RandomSeed=<seed>
            AtInsulatorInterface
            UniformDistribution
        )
    )
}

该方法假设金属由随机取向和形状的晶粒组成，可以用平均晶粒尺寸表征。它还假设金属中的晶粒具有有限数量的取向，每种取向的晶粒数量可以用发生概率来表征。

AverageGrainSize 用于确定区域的平均晶粒数，然后将其作为泊松分布随机数发生器的期望值，以确定该区域的实际晶粒数。每个晶粒可以具有不同的形状和尺寸。

您可以根据需要指定 RandomSeed，以允许在后续仿真中使用相同种子重复特定的随机化。

AtInsulatorInterface 选项将随机化限制在金属-绝缘体界面顶点。

UniformDistribution 选项尝试使用均匀尺寸的晶粒并均匀分布。

金属中的温度

在金属中，只定义晶格温度。如果求解晶格温度，在金属中遵循以下方程：

其中是热导率（见第1058页热导率）。如果关闭了金属中的电流输运，则方程（153）的右侧消失。但是，仍可以模拟金属中的热流。

导电绝缘体

电介质中的漏电流可以通过允许电介质具有导电特性来建模。导电绝缘体（漏绝缘体）模型实现的电介质除了纯介电特性外还具有非零（但通常较低）电导率（类似金属的特性）。

在导电绝缘体中，静电势使用泊松方程计算，类似于纯介电体。与金属中一样，电导率通过费米势建模（求解方程149），然后使用方程148计算漏电流。由于该模型不允许导电绝缘体中有净电荷，因此通过向绝缘体添加导电特性，泊松方程保持不变。

导电绝缘体内部费米势的方程与金属使用的方程相同（见方程149），其中现在是导电绝缘体的电导率，是导电绝缘体中的费米势。

以下边界条件用于此方程：

对于连接到导电绝缘体区域的接触，对费米势应用 Dirichlet 条件。
界面条件始终包括绝缘体、导电绝缘体和半导体中的位移电流以确保电流守恒。
对于导电绝缘体-半导体界面，提供欧姆类边界条件、热发射类边界条件和浮接区域边界条件。

从半导体到导电绝缘体或从导电绝缘体到半导体的漏电主要由两个因素决定：界面的导电特性和导电绝缘体的体电阻率。体电阻率限制的传导对应于电流被导电绝缘体区域的高电阻率限制的情况，此时界面电阻率为零。

这种情况由欧姆类边界条件建模：

其中：

和是界面上的费米势和电流密度。
是静电势（绝缘体和半导体区域中泊松方程的解）。
是内建势。
是界面的单位法向量。
和是半导体侧界面上的电子和空穴电流。
是流向电子电流密度的导电绝缘体电流密度的分数（）。

界面的热发射类发射模型传导同时受界面特性和导电绝缘体体电阻率的限制。

热发射边界条件为：

其中和是半导体侧界面上的电子和空穴热发射电流密度。

通过在半导体浮接区域和半导体区域之间使用导电绝缘体层，可以模拟从半导体浮接栅的漏电。在这种情况下，使用的边界条件为：

其中是接近界面的费米势。在瞬态仿真中，浮接栅上的电荷更新计算为，其中是导电绝缘体-浮接栅界面处的总电流，是当前时间步长。

通过在 Physics 部分中使用关键字 CondInsulator 使电介质具有导电特性来激活该模型，并通过在 Solve 部分中添加 CondInsulator 方程来实际求解费米势：

tcl

Physics(Region="insulator"){
    ...
    CondInsulator
    ...
}

Solve {
    ...
    Coupled {Poisson Electron Hole Contact CondInsulator}
    ...
}

导电绝缘体电阻率（方程150）的参数在 Resistivity 参数集中指定：

tcl

Material = "Si3N4" {
    Resistivity {
        // Resist(T) = Resist0 * (1 + TempCoef * (T-273))
        Resist0 = 3.0e9   // [Ohm*cm]
        TempCoef = 43.0e-4 // [1/K]
    }
}

默认使用方程（154）的边界条件。方程（154）中的参数由 CondInsCurr 参数集中的 curw 值给出：

tcl

MaterialInterface = "Si3N4/AlGaN" {
    CondInsCurr {
        curw = 1.0 // [1]
    }
}

半导体-导电绝缘体界面的热发射通过在 Physics 部分中添加 eThermionic 或 hThermionic 来激活：

tcl

Physics(MaterialInterface="Si3N4/AlGaN") {
    //----- Insulator/AlGaN -----
    ...
    eThermionic
    hThermionic
    ...
}

其中方程（155）中的参数在参数文件中指定：

tcl

MaterialInterface = "Si3N4/AlGaN" {
    ThermionicEmission {
        A = 2, 2
    }
}

对于非热发射界面，需要内部平衡解来求解 CondInsulator 方程。平衡解通过非线性迭代自动计算。Sentaurus Device 允许您将非线性迭代的数值参数指定为 Math 部分中 EquilibriumSolution 关键字的选项（见第251页平衡态解和第1663页表222）。

以下示例强制牛顿求解器最多求解100次迭代：

tcl

Math {
    ...
    EquilibriumSolution(Iterations=100)
    ...
}

第11章：金属、有机材料和无序介质中的输运方程 ​

单线激子方程 ​

单线激子方程的边界和连续性条件 ​

使用单线激子方程 ​

金属中的输运 ​

金属的电气边界条件 ​

金属功函数 ​

金属功函数的随机化 ​

金属中的温度 ​

导电绝缘体 ​