第10章：边界条件

来源: Sentaurus Device User Guide W-2024.09 PDF 第281-313页

本章描述 Sentaurus Device 中可用的边界条件。

本章描述电气接触、热接触、浮接接触的属性，以及方程求解域其他边界上的边界条件。连续性条件（如何在一个区域的两个相邻区域的交界处匹配方程的解）在其他地方讨论（例如，见第250页偶极层）。本章仅限于第7章第249页、第8章第259页和第9章第266页中介绍的方程的边界条件。较不重要方程的边界条件与方程本身一起讨论（例如，见第313页第11章）。

电气边界条件

本节讨论电气边界条件。

欧姆接触

默认情况下，半导体上的接触是欧姆的，没有电阻。但是，当连接到电路节点时，接触必须是电阻性的（见混合模式中的阻性接触，第298页）。

欧姆接触处假设电荷中性且处于平衡态：

对于玻尔兹曼统计，这些条件可以解析表达：

其中和是电子和空穴平衡浓度，是接触处的费米势（如果不是阻性接触，则等于外加电压；见阻性接触，第292页）。对于费米统计，Sentaurus Device 数值计算平衡解。

默认情况下，方程（106）和（107）应用于欧姆接触处的浓度。如果指定了电子或空穴复合速度，Sentaurus Device 使用以下电流边界条件：

其中和是电子和空穴复合速度。在命令文件中，复合速度可以指定为：

tcl

Electrode { ...
    { Name="Emitter" Voltage=0 eRecVelocity = <value> hRecVelocity = <value> }
}

NOTE

如果电子和空穴复合速度的值都等于零（），则且。即电极仅定义静电势（这对于 SOI 器件很有用）。

通过为电极指定 Poisson=Neumann，可以将对泊松方程在接触处的边界条件切换为齐次 Neumann 边界条件，即不应用方程（106）。

改进的欧姆接触

如第280页欧姆接触中所述的欧姆接触通常会在 p-n 结和异质界面附近导致不正确的结果。主要原因是接触顶点位于 p-n 结或异质界面的带电耗尽区内，在这些位置施加了电荷中性条件。理想情况下，此类接触处的载流子密度应作为体密度的延伸，不存在沿接触方向的突变。

Sentaurus Device 支持欧姆接触的替代方案，不施加电荷中性条件。在这种方法中，在仿真开始时求解移除所考虑欧姆接触后的平衡态下的非线性泊松方程（见第251页平衡态解）。以此方式获得的平衡静电势替代所考虑欧姆接触顶点处的内建电势。

您可以在 Electrode 部分中使用 EqOhmic 关键字设置改进的欧姆接触：

tcl

Electrode {
    ...
    {Name="drain" Voltage=0 EqOhmic}
}

NOTE

此功能仅支持等温仿真。

绝缘体上的接触

对于绝缘体上的接触（例如栅极接触），静电势为：

其中是接触处的费米势（如果不是阻性接触，则等于外加电压），是金属与本征参考半导体之间的功函数差。

NOTE

如果欧姆接触同时接触绝缘体和半导体，则沿接触方向的静电势可能不连续，因为边界条件（方程106和方程109）通常相互矛盾。方程106优先于方程109。

可以在 Electrode 部分中指定：可以直接用 Barrier 指定，通过 WorkFunction 指定金属功函数，或通过 Material 指定电极材料：

tcl

Electrode { ...
    { Name="Gate" Voltage=0 Barrier = 0.55 }
}

Electrode { ...
    { Name="Gate" Voltage=0 WorkFunction = 5 }
}

Electrode { ...
    { Name="Gate" Voltage=0 Material="Gold" }
}

为了模拟多晶栅极，可以在 Electrode 部分中指定半导体材料和掺杂浓度：

tcl

Electrode { ...
    { Name="Gate" Voltage=0 Material="Silicon" (N = 5e19) }
}

肖特基接触

肖特基接触的物理在 [1] 和 [2] 中有详细考虑。在本节中，考虑肖特基接触的典型模型 [3]。以下边界条件成立：

其中：

是接触处的费米势，如果非阻性接触则等于外加电压。
是势垒高度（对于 n 型半导体，是接触功函数与半导体电子亲和势之差）。
和是热发射速度。
和是平衡密度。

热发射速度和的默认值分别为 cm/s 和 cm/s。

复合速度可以在 Electrode 部分中设置：

tcl

Electrode { ...
    { Name="Gate" Voltage=0 Schottky Barrier = <value> eRecVelocity = <value> hRecVelocity = <value> }
}

NOTE

如果肖特基接触连接到多个不同的半导体，Barrier 规范可能会产生不正确的结果。在这种情况下，请使用 WorkFunction 而非 Barrier。

Sentaurus Device 还允许将热发射速度和定义为晶格温度的函数：

要激活温度相关的复合速度，请在电极特定的 Physics 部分中指定 eRecVel(TempDep)、hRecVel(TempDep) 或 RecVel(TempDep)：

tcl

Physics (Electrode = "cathode") { RecVel(TempDep) }

肖特基接触的费米能级钉扎

在金属-半导体接触或界面处，存在金属与位于半导体带隙内的界面态之间的电荷转移。电荷转移产生界面偶极子，可以改变肖特基势垒。这种现象称为费米能级钉扎，可以通过肖特基钉扎参数建模。

考虑半导体带隙中金属与界面态之间电荷转移（钉扎效应）修正的肖特基势垒建模为：

其中：

是金属功函数（单位 V）。
是相对于真空能级的电荷中性能级（单位 eV）。
是肖特基钉扎参数。对于（无钉扎），没有电荷转移，肖特基势垒变为经典肖特基极限。对于（强钉扎），您获得 Bardeen 极限，其中金属费米能级被界面态钉扎在。

Sentaurus Device 中肖特基钉扎参数的可用模型是 Sze 模型和 Mönch 模型。

Sze 模型定义为 [4]：

其中是半导体介电常数，是每单位能量的界面态密度，是它们在半导体中的延伸范围。

Mönch 模型（默认）是经验公式，定义为 [5]：

其中是高频介电常数（对于大多数材料设置为 12），和是摩尔分数可调参数。

NOTE

通常是为标准材料编制的，因此对于这些材料，可以从方程（116）可靠地确定。

要在肖特基接触处激活钉扎效应，请在 Electrode 部分中将 Pinning 关键字与作为关键字选项定义的模型一起指定：

tcl

Electrode { ...
    { name = "cnt1" voltage = 0 Schottky(Pinning(Model="Sze"))
        Workfunction=4.75 }
}

如果省略关键字 Model，则使用 Mönch 模型。

表31：肖特基钉扎参数

符号	参数名	默认值	单位
A	Pinning_A	0.1	1
B	Pinning_B	2	1
	Pinning_Nint		cm⁻²eV⁻¹
	Pinning_d		cm
	Pinning_CNL	5.01964	eV

肖特基接触的势垒降低

肖特基接触的势垒降低模型可以解释不同的物理机制。最重要的是镜像力 [3]，但它也可以模拟隧穿和偶极子效应。

电子从金属发射到导带以及空穴发射到价带所看到的势垒降低为：

其中：

是半导体区域到金属接触的局部 exterior normal 上的电场法向分量， V/cm。
、、、等是模型系数，可以在 Sentaurus Device 的参数文件中指定。它们的默认值是 eV， eV，，。

最终肖特基势垒值对于导带中的电子计算为，对于价带中的空穴计算为。

此外，Sentaurus Device 实现了势垒降低的简化模型：

表32：势垒降低模型参数

符号	参数名	默认值	单位
/	aa1		eV
/	aa2	0	eV
/	pp1	0.5	1
/	pp2	1	1
	a1		eV
	a2	0	eV
	p1	0.5	1
	p2	1	1
	p1_eq	0.5	1
	p2_eq	1	1
	eta	1	1

要激活势垒降低模型，请在电极特定的 Physics 部分中为简化模型指定 BarrierLowering：

tcl

Physics(Electrode = "Gate") { BarrierLowering }

对于完整模型，指定：

tcl

Physics(Electrode = "Gate") { BarrierLowering(Full) }

带界面绝缘层的势垒降低模型

Sentaurus Device 支持另一种势垒降低模型，该模型考虑了金属与半导体之间很薄的虚拟界面层 [6]。该模型假设在金属和半导体之间存在有限的绝缘层，并包括相对于金属-绝缘体和绝缘体-半导体界面的镜像。

Sentaurus Device 实现了带界面绝缘层的势垒降低模型（方程120），其中涉及半导体层介电常数、绝缘体层介电常数、Conformable 绝缘体层厚度等参数。

要激活带界面绝缘层的势垒降低模型，请在 Electrode 或电极特定的 Physics 部分的 Schottky 子部分中指定 InsBarrierLowering：

tcl

Electrode { ...
    { name = "cnt1" voltage = 0 Schottky(InsBarrierLowering))
        Workfunction=4.75 }
}

Physics(Electrode = "cnt1") { ...
    Schottky(InsBarrierLowering)
}

表33：带界面绝缘层模型的势垒降低参数

符号	参数名	默认值	单位
	InsBL_tox		cm
	InsBL_epsins	3.9	1
	InsBL_d0		cm
	InsBL_d_eps		cm
	InsBL_nn	20	1
weight	InsBL_c_weight	1	1
delta	InsBL_delta		cm

阻性接触

在单器件模式下，接触的默认电阻为零。您可以在 Electrode 部分中用 Resist 或 DistResist 或两者更改此默认值。当连接到电路节点时，接触必须是电阻性的（见混合模式中的阻性接触，第298页）。

以下示例将发射极定义为电阻为 1 Ω 的接触（假设 AreaFactor 为 1）：

tcl

Electrode { ...
    { name = "emitter" voltage = 2 Resist=1 }
}

以下示例将发射极定义为串联 0.0002 Ω·cm² 分布电阻和 100 Ω 集总电阻的接触：

tcl

Electrode { ...
    { name = "emitter" voltage = 2 Resist=100 DistResist=2e-4 }
}

如果通过电阻（Electrode 部分中的 Resist）或分布电阻（Electrode 部分中的 DistResist）将施加到接触，则存在一个附加方程来计算。

对于分布电阻，在接触的每个网格顶点处不同，并作为以下方程的解与所有方程的系统自洽计算：

对于电阻，在整个接触上是一个常数：

NOTE

在 2D 仿真中，电阻必须以 Ω·μm 为单位指定。在 3D 仿真中，电阻必须以 Ω 为单位指定。分布电阻以 Ω·cm² 给出。

肖特基接触的分布电阻模型

为了模拟肖特基接触行为 [7]，推导了零偏压下的肖特基接触电阻率，并获得了此类接触的掺杂相关电阻率模型。这通过在 Electrode 部分中指定 DistResist=SchottkyResist 为欧姆接触激活。

该模型表示为：

其中：

是肖特基势垒。
是接触处无限掺杂浓度时的肖特基电阻（或零肖特基势垒）。
是半导体介电常数。
是隧穿质量。
是在 Physics 部分中定义的器件晶格温度。

混合模式中的阻性接触

在混合模式中，如果电极连接到电路节点，则默认添加一个小的接触电阻。

您可以使用在全局 Math 部分中指定的关键字 MixedModeContactResistance=<float> 来定义连接到电路的每个电极的电阻。可以通过在 Electrode 部分中指定 Resist 为各个电极覆盖此设置。

阻性界面

分布电阻界面模型仅支持金属-半导体和金属-金属界面。界面被视为不连续的双点界面。

要激活该模型，请在阻性界面的 Physics 部分中指定 DistResist 关键字：

tcl

Physics (MaterialInterface="AlGaAs/Aluminum") {
    DistResist=1e-3
}

无接触的边界

不是接触的器件外边界使用理想的 Neumann 边界条件处理：

方程（131）也适用于半导体-绝缘体界面。

浮接接触

浮接金属接触

浮接接触上的电荷（例如 EEPROM 单元中的浮接栅）可在 Electrode 部分中指定：

tcl

Electrode { ...
    { name="FloatGate" charge=1e-15 }
}

对于浮接金属接触（未接触任何半导体区域的接触），静电势通过求解泊松方程和以下电荷边界条件确定：

其中是浮接接触表面上的法向量，是浮接接触上的指定电荷。

如果，例如，EEPROM 单元以 2D 近似模拟，则浮接接触与控制接触之间的附加电容是必要的。附加电容可以在 Electrode 部分中使用关键字 FGcap 指定：

tcl

Electrode {
    { name="ContGate" voltage=10 }
    { name="FloatGate" charge=0 FGcap=(value=3e-15 name="ContGate") }
}

浮接半导体接触

Sentaurus Device 可以通过将具有电荷边界条件的电极连接到绝缘半导体区域来模拟浮接半导体接触。

在该浮接接触区域内，Sentaurus Device 使用以下电荷边界条件求解泊松方程：

Sentaurus Device 自动从几何（.tdr）文件中识别浮接半导体接触。

假设浮接区域内没有电流流动。因此，电子和空穴的准费米势在浮接区域内相同且恒定：

热边界条件

晶格温度的边界条件

对于方程（72）、（73）、（77）和（83）的求解，必须应用热边界条件。遵循 Wachutka [10]，但忽略欧姆接触处半导体与金属之间热功率的差异。对于自由的隔热表面：

在热传导界面上，施加热阻性（齐次 Neumann）边界条件：

其中是表征半导体与相邻材料之间热接触的外部热阻。

对于理想热沉的特殊情况（），施加 Dirichlet 边界条件：

默认情况下，施加 Dirichlet 边界条件。对于 Neumann 边界条件（方程138），您可以在 Thermode 的规范中使用关键字 SurfaceResistance 指定（见第1798页表368）。或者，您可以使用 SurfaceConductance 指定。

当晶格温度方程求解时，晶格温度（Temperature）和晶格热通量（lHeatFlux）在 .plt 文件的相应 Thermode 部分中自动添加。

在绝缘体-绝缘体、绝缘体-半导体、半导体-半导体、金属-半导体、金属-金属和金属-绝缘体界面上，也支持分布热阻。

要在此功能，请在相应界面的 Physics 部分中使用 DistrThermalResist 关键字指定分布电阻：

tcl

Physics (RegionInterface="reg1/reg2") {
    DistrThermalResist=1e-3
}

载流子温度的边界条件

对于载流子温度和，在热接触处，假设快速弛豫到晶格温度（边界条件）。

对于其他边界，假设载流子温度为绝热条件：

周期性边界条件

周期性边界条件（PBC）的使用有助于周期性器件结构的仿真，例如单元的行或阵列。您可以在单个单元的较低和较高边界平面（垂直于坐标系主轴）提供 PBC。解的周期性意味着两个边界平面在实际上是相同的，从而形成 PBC 界面：解在该界面处（弱）连续，并且电流（或一般情况下的通量）可以从一侧流到另一侧。

您可以在两个不同的数值 PBC 方法之间进行选择，称为 Robin PBC（RPBC）方法和 mortar PBC（MPBC）方法。两种方法都支持：

多种输运模型：漂移-扩散、热力学和流体动力学输运
一致和非一致的几何和网格
二维和 3D 器件结构
通量守恒（例如，连续性方程的电流守恒）
一重和二重周期性

Robin PBC 方法

RPBC 方法在 PBC 界面的两侧之间使用电流（或通量）模型：

其中和是方程的解变量，是通过 PBC 界面的通量密度，是用户提供的调优参数。

Mortar PBC 方法

在 MPBC 方法中，PBC 界面的两侧有效地粘合在一侧（mortar 侧），而在另一侧（非 mortar 侧），对方程势（通常是解变量）施加弱连续性条件。MPBC 方法在几何和网格非一致时对于 mortar 侧的选择不是对称的。

周期性边界条件的规范

通过在全局或器件 Math 部分中使用 PeriodicBC 来激活周期性边界条件：

tcl

Math {
    PeriodicBC(
        (Direction=0 Coordinates=(-1.0 2.0))
        (Poisson Direction=1 Coordinates=(-1e50 1e50))
        (Electron Direction=1 Coordinates=(-1e50 1e50) Factor=2.e8)
    )
}

NOTE

如果界面两侧的材料参数或掺杂浓度不同，RPBC 可能会导致非物理解。

对于 MPBC 方法，通过以下方式激活：

tcl

PeriodicBC ( ( Type=MPBC Direction=1 MortarSide=Ymax ) )

不连续界面

不连续界面推广了用于半导体-半导体界面（见突变和缓变异质结，第60页和第908页第26章）异质界面仿真的框架。它们为在区域界面上产生物理量的不连续性建立了模型基础。

界面上物理量的表示

几个界面条件导致这些界面上的物理量不连续。如果所有物理量在该界面上使用不连续表示，则界面是不连续界面。通过应用（通常是隐式）相应的界面条件来保证选定量的连续性。默认情况下，不连续界面上的界面条件意味着解变量的连续性。

您可以通过在任何 Physics 部分中使用 Discontinuity 来强制每个界面成为不连续界面：

tcl

Physics ( MaterialInterface= "Silicon/Oxide" ) {
    Discontinuity
}

不连续界面允许在任何两个区域之间，无论其材料或材料组（半导体、绝缘体或导体）如何。它们隐式或显式地用于以下界面模型：

偶极层（见第250页）
分布热阻（见第305页）
异质界面（见第60页）
热发射（见第908页第26章）
半导体浮接栅概念（见第882页）
光学独立仿真

不连续界面上的界面条件

在不连续界面上（涉及任意材料组），允许与漂移-扩散、热力学和流体动力学输运相关的界面条件。

临界点

几个界面相交或界面与边界或接触相交的几何位置是所谓的临界点。在这些临界点上，通常无法满足所有界面条件，冲突通过隐式规则解决。

临界点支持以下条件：不连续界面的集合为空，或者是所涉及界面的全部，或者是异质界面的全部。

参考文献

[1] A. Schenk and S. Müller, "Analytical Model of the Metal-Semiconductor Contact for Device Simulation," in Simulation of Semiconductor Devices and Processes (SISDEP), vol. 5, Vienna, Austria, pp. 441–444, September 1993.

[2] A. Schenk, Advanced Physical Models for Silicon Device Simulation, Wien: Springer, 1998.

[3] S. M. Sze, Physics of Semiconductor Devices, New York: John Wiley & Sons, 2nd ed., 1981.

[4] A. M. Cowley and S. M. Sze, "Surface states and barrier height of metal-semiconductor systems," Journal of Applied Physics, vol. 36, no. 10, pp. 3212–3220, 1965.

[5] W. Mönch, "Chemical trends of barrier heights in metal-semiconductor contacts: on the theory of the slope parameter," Applied Surface Science, vol. 92, pp. 367–371, February 1996.

[6] A. Tugulea and D. Dascalu, "The image-force effect at a metal-semiconductor contact with an interfacial insulator layer," Journal of Applied Physics, vol. 56, no. 10, pp. 2823–2831, 1984.

[7] K. Varahramyan and E. J. Verret, "A Model for Specific Contact Resistance Applicable for Titanium Silicide–Silicon Contacts," Solid-State Electronics, vol. 39, no. 11, pp. 1601–1607, 1996.

[8] V. L. Rideout and C. R. Crowell, "Effects of Image Force and Tunneling on Current Transport in Metal–Semiconductor (Schottky Barrier) Contacts," Solid-State Electronics, vol. 13, no. 7, pp. 993–1009, 1970.

[9] S. Sugino et al., "Analysis of Writing and Erasing Procedure of Flotox EEPROM Using the New Charge Balance Condition (CBC) Model," in Workshop on Numerical Modeling of Processes and Devices for Integrated Circuits (NUPAD IV), Seattle, WA, USA, pp. 65–69, May 1992.

[10] G. K. Wachutka, "Rigorous Thermodynamic Treatment of Heat Generation and Conduction in Semiconductor Device Modeling," IEEE Transactions on Computer-Aided Design, vol. 9, no. 11, pp. 1141–1149, 1990.

第10章：边界条件 ​

电气边界条件 ​

欧姆接触 ​

改进的欧姆接触 ​

绝缘体上的接触 ​

肖特基接触 ​

肖特基接触的费米能级钉扎 ​

肖特基接触的势垒降低 ​

带界面绝缘层的势垒降低模型 ​

阻性接触 ​

肖特基接触的分布电阻模型 ​

混合模式中的阻性接触 ​

阻性界面 ​

无接触的边界 ​

浮接接触 ​

浮接金属接触 ​

浮接半导体接触 ​

热边界条件 ​

晶格温度的边界条件 ​

载流子温度的边界条件 ​

周期性边界条件 ​

Robin PBC 方法 ​

Mortar PBC 方法 ​

周期性边界条件的规范 ​

不连续界面 ​

界面上物理量的表示 ​

不连续界面上的界面条件 ​

临界点 ​

参考文献 ​

第10章：边界条件

电气边界条件

欧姆接触

改进的欧姆接触

绝缘体上的接触

肖特基接触

肖特基接触的费米能级钉扎

肖特基接触的势垒降低

带界面绝缘层的势垒降低模型

阻性接触

肖特基接触的分布电阻模型

混合模式中的阻性接触

阻性界面

无接触的边界

浮接接触

浮接金属接触

浮接半导体接触

热边界条件

晶格温度的边界条件

载流子温度的边界条件

周期性边界条件

Robin PBC 方法

Mortar PBC 方法

周期性边界条件的规范

不连续界面

界面上物理量的表示

不连续界面上的界面条件

临界点

参考文献