Ch25（5/6）：SHE 详细推导

球谐展开方法

球谐展开（SHE）方法通过求解 Boltzmann 输运方程（BTE）的最低阶 SHE 来计算微观载流子能量分布函数 [4]：

其中：

• 是电子的占据概率（ 可以大于 1，因为假设了非简并统计）
• 是包括导带能量 和动能 的总能量
• 是电子速度的大小
• 是总散射率
• 是每个谷和每个自旋的态密度
• 是由非弹性散射和产生-复合过程产生的净入射率

在公式 880 中， 和 可以从半导体的能量-波矢色散关系 获得：

其中：

• 是动能
• 是谷简并度
• 是带索引
• 是带的数量
• 是波矢相关群速度的大小
• 是普朗克常数
• 积分在第一个布里渊区的等能面上进行

此外，能量相关的平方波矢定义为：

这些与能量相关的带结构量可以从预计算的带结构文件或单带解析非抛物带结构模型获得。

解析非抛物带结构模型给出 [5]：

其中 是非抛物性因子， 是电导有效质量， 是态密度有效质量。

总散射率和净入射率可以写成：

其中：

• 是库仑散射率
• 是碰撞电离散射率
• 是声学声子散射率
• 是光学声子发射导致的散射率
• 是光学声子吸收导致的散射率
• 是光学声子能量
• 是净复合率
• 是电子密度
• 是局域平衡分布函数

库仑散射率可以写成 [6]：

其中：

• 是半导体材料的介电常数
• 是控制杂质散射能量依赖性的可调参数
• 是 （对于电子）和 （对于空穴）
• 是 （对于电子）和 （对于空穴）
• 和 是查表的拟合函数，用于匹配作为主要和次要掺杂浓度函数的实验低场迁移率曲线

有两种不同的碰撞电离散射率表达式可用。第一个表达式可以写成 [6]：

其中：

• 和 是碰撞电离系数
• 和 是指数
• 、 和 是参考能量

第二个表达式可以写成 [7]：

在 SHEDistribution 参数集中指定 ii_formula=1 将激活第一个表达式；而 ii_formula=2 将激活第二个表达式。电子和空穴的碰撞电离模型参数分别从 [6] 和 [8] 获得。

声学声子和光学声子散射率可以写成 [5][6]：

其中：

• 和 是带索引
• 和 分别是声学声子和 g 型光学声子的形变势（ 和 ）
• 是质量密度
• 是声速
• 是声子数

如果 且 （无论带索引如何），则公式 894、895 和 896 可以简化为：

对于电极，假设 Dirichlet 边界条件为 。

突变异质界面的边界条件与热离子发射模型的相应边界条件相似。假设在材料 1 和材料 2 之间的异质界面上，导带边缘跳跃为正（）。如果 和 是进入材料 2 和离开材料 1 的每个自旋和每个谷的能量相关电子电流密度，则界面条件可以写成：

其中 、 和 分别是材料 的态密度、群速度和占据概率。

所有其他边界都使用反射边界条件处理。